$\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

Elektron wpada w obszar pola magnetycznego i porusza się prostopadle do linii pola. Siła Lorentza jest zwrócona do środka okręgu, po którym będzie poruszał się elektron.

Korzystamy z reguły lewej ręki:

Do wnętrza płaskiej lewej dłoni mają wpadać linie pola magnetycznego. Cztery wyprostowane palce wskazują zwrot wektora prędkości cząstki o ładunku dodatnim. Odgięty kciuk wskazuje kierunek i zwrot siły Lorentza. Jeżeli cząstka ma ładunek ujemny, to wyznaczony zwrot siły jest przeciwny.

W naszym przypadku elektron zatacza półokrąg w lewą stronę.

 

 Odpowiedź: 

 

$\mathbf{b})$

Dane:

$U=100\mathrm{V}$

$B=0,0012\mathrm{T}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ wartość ładunku elementarnego: $e=1,6\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}$,

▶  masa spoczynkowa elektronu: $m=9,11\cdot {10}^{-31}\mathrm{kg}$.

Szukane:

$R=?$

Rozwiązanie:

Pracę wykonaną przy przenoszeniu ładunku w polu elektrycznym o podanym napięciu (różnicy potencjałów) możemy obliczyć za pomocą zależności:

$W=qU$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przy przenoszeniu ładunku w polu elektrycznym,

$q$ - wartość przenoszonego ładunku,

$U$ - napięcie pola elektrycznego (różnica potencjałów pomiędzy dwoma punktami pola).

W przypadku ładunku elektronu ma on wartość bezwzględną równą ładunkowi elementarnemu.

$q=e$

Stąd:

$W=eU$

Dzięki wykonanej pracy elektron jest przyspieszany i osiąga pewna energię kinetyczną.

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna,

$m$ - masa ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Zatem:

$W=E_k$

$eU=\frac{m{v}^2}{2}$

Stąd:

$2eU=m{v}^2$

$v^2=\frac{2eU}{m}$

$v=\sqrt{\frac{2eU}{m}}$

 

Na cząstkę naładowaną poruszającą się w obszarze pola magnetycznego, w płaszczyźnie prostopadłej do linii pola magnetycznego, działa siła Lorentza, którą wyrażamy wzorem:

$F_L=qvB$

gdzie:

$F_L$ - wartość siły Lorentza,

$q$ - wartość ładunku cząstki poruszającej się w polu magnetycznym,

$v$ - wartość prędkości cząstki,

$B$ - wartość indukcji pola magnetycznego.

Rozważamy ruch elektronu, zatem:

$F_L=evB$

Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej.

$F_d=\frac{m{v}^2}{R}$

gdzie:

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej,

$m$ - masa ciała,

$v$- wartość prędkości ciała,

$R$ - promień zataczanego łuku.

Stąd:

$F_L=F_d$

$evB=\frac{m{v}^2}{R}$

$eB=\frac{mv}{R}$

$eBR=mv$

$v=\frac{eBR}{m}$

 

Porównajmy oba wzory na prędkość elektronu:

$\sqrt{\frac{2eU}{m}}=\frac{eBR}{m}$  

Wyznaczmy promień okręgu, po którym porusza się elektron.

$eBR=m\sqrt{\frac{2eU}{m}}$  

$R=\frac{m}{eB}\cdot \sqrt{\frac{2eU}{m}}$  

$R=\frac{1}{B}\cdot \sqrt{\frac{2eU{m}^2}{m{e}^2}}$  

$R=\frac{1}{B}\cdot \sqrt{\frac{2Um}{e}}$  

 

$R=\frac{1}{0,0012\text{T}}\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 100\text{V}\cdot 9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}}{1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}}}=833,33\frac{{\text{As}}^2}{\text{kg}}\cdot \sqrt{1137,5\cdot {10}^{-12}\frac{{\text{kg}}^2{\text{m}}^2}{{\text{A}}^2{\text{s}}^4}}=$  

$=833,33\frac{{\text{As}}^2}{\text{kg}}\cdot 33,7268\cdot {10}^{-6}\frac{\text{kgm}}{{\text{As}}^2}=28105,55\cdot {10}^{-6}\text{m}\approx 0,028\text{m}=2,8\text{cm}$