Czajnik elektryczny ma dwie spirale...- Zadanie 13.6.8.: Zrozumieć fizykę 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Czas gotowania wody dla połączenia równoległego spiral grzejnych:

$t_{r} = 2 min$

Czas gotowania wody dla połączenia szeregowego spiral grzejnych:

$t_{sz} = 9 min$

Energię $E$ dostarczaną przez spiralę grzejną do wody wyrazimy jako:

$E = U \cdot I \cdot t$

$U - napi ę cie zasilaj ą ce spiral ę$

$I - nat ę \overset{z}{˙} enie pr ą du przep ł ywaj ą ce przez spiral ę$

$t - czas pracy podgrzewacza$

Korzystamy ze wzoru na opór $R$ przewodnika:

$R = \frac{U}{I} \Rightarrow I = \frac{U}{R}$

Zatem:

$E = U \cdot \frac{U}{R} \cdot t = \frac{U ^{2} t}{R}$

Energia $E$ dostarczona przez spiralę musi być równa ciepłu $Q$ potrzebnemu do ogrzania wody.

$E = Q$

$Q = \frac{U ^{2} t}{R}$

Ciepło $Q$ jakie musi dostarczyć czajnik do wody nie zmienia się.

Wodę podgrzewa tylko pierwsza spirala:

$I. Q = \frac{U ^{2} t _{1}}{R _{1}}$

Wodę podgrzewa tylko druga spirala:

$II. Q = \frac{U ^{2} t _{2}}{R _{2}}$

Wodę podgrzewają dwie spirale połączone szeregowo. Opór zastępczy spiral będzie równy:

$R = R_{1} + R_{2}$

$III. Q = \frac{U ^{2} t _{sz}}{R} = \frac{U ^{2} t _{sz}}{R _{1} + R _{2}}$

Wodę podgrzewają dwie spirale połączone równolegle. Opór zastępczy spiral będzie równy:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

$\frac{1}{R} = \frac{R _{2}}{R _{1} R _{2}} + \frac{R _{1}}{R _{1} R _{2}} = \frac{R _{1} + R _{2}}{R _{1} R _{2}}$

$R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$

$IV. Q = \frac{U ^{2} t _{r}}{R} = \frac{U ^{2} t _{r}}{\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}} = \frac{U ^{2} t _{r} \cdot ( R _{1} + R _{2} )}{R _{1} R _{2}}$

Korzystamy z czterech zapisanych równań:

$I. Q = \frac{U ^{2} t _{1}}{R _{1}}$

$II. Q = \frac{U ^{2} t _{2}}{R _{2}}$

$III. Q = \frac{U ^{2} t _{sz}}{R _{1} + R _{2}}$

$IV. Q = \frac{U ^{2} t _{r} \cdot ( R _{1} + R _{2} )}{R _{1} R _{2}}$

Przekształcamy pierwsze dwa równania:

$I. Q = \frac{U ^{2} t _{1}}{R _{1}} \Rightarrow R_{1} = \frac{U ^{2} t _{1}}{Q}$

$II. Q = \frac{U ^{2} t _{2}}{R _{2}} \Rightarrow R_{2} = \frac{U ^{2} t _{2}}{Q}$

Otrzymujemy:

$R_{1} + R_{2} = \frac{U ^{2} t _{1}}{Q} + \frac{U ^{2} t _{2}}{Q} = \frac{U ^{2} t _{1} + U ^{2} t _{2}}{Q} = \frac{U ^{2}}{Q} \cdot (t_{1} + t_{2})$

Podstawiamy powyższą zależność na sumę oporów do równania III.

$Q = \frac{U ^{2} t _{sz}}{R _{1} + R _{2}}$

$Q = \frac{U ^{2} t _{sz}}{\frac{U ^{2}}{Q} \cdot ( t _{1} + t _{2} )}$

$Q = \frac{Q U ^{2} t _{sz}}{U ^{2} \cdot ( t _{1} + t _{2} )}$

$1 = \frac{t _{sz}}{t _{1} + t _{2}}$

Zatem:

$t_{1} + t_{2} = t_{sz}$

$t_{2} = t_{sz} - t_{1}$

Teraz z równania III wyznaczamy zależność na sumę oporów:

$Q = \frac{U ^{2} t _{sz}}{R _{1} + R _{2}} \Rightarrow R_{1} + R_{2} = \frac{U ^{2} t _{sz}}{Q}$

Podstawiamy wyznaczoną zależność na sumę oporów do równania IV.

$Q = \frac{U ^{2} t _{r} \cdot ( R _{1} + R _{2} )}{R _{1} R _{2}}$

$Q = \frac{U ^{2} t _{r} \cdot ( \frac{U ^{2} t _{sz}}{Q} )}{R _{1} R _{2}}$

$V. Q^{2} = \frac{U ^{4} t _{r} t _{sz}}{R _{1} R _{2}}$

Korzystając z równań I i II wyznaczmy iloczyn Q i Q.

$Q \cdot Q = \frac{U ^{2} t _{1}}{R _{1}} \cdot \frac{U ^{2} t _{2}}{R _{2}}$

$VI. Q^{2} = \frac{U ^{4} t _{1} t _{2}}{R _{1} R _{2}}$

Łączymy otrzymane równania V i VI.

$\frac{U ^{4} t _{r} t _{sz}}{R _{1} R _{2}} = \frac{U ^{4} t _{1} t _{2}}{R _{1} R _{2}}$

$t_{r} t_{sz} = t_{1} t_{2}$

Wiemy, że:

$t_{2} = t_{sz} - t_{1}$

Stąd:

$t_{r} t_{sz} = t_{1} (t_{sz} - t_{1})$

$t_{r} t_{sz} = t_{1} t_{sz} - t_{1}^{2}$

Otrzymujemy równanie kwadratowe:

$t_{1}^{2} - t_{sz} t_{1} + t_{r} t_{sz} = 0$

Podstawmy znane wartości czasów.

$t_{1}^{2} - 9 t_{1} + 2 \cdot 9 = 0$

$t_{1}^{2} - 9 t_{1} + 18 = 0$

$Δ = 81 - 71 = 9$

$t_{1} = \frac{9 - 9}{2} = 3 min \lor t_{1} = \frac{9 + 9}{2} = 6 min$

$t_{2} = 9 - 3 = 6 min \lor t_{2} = 9 - 6 = 3 min$

Zatem czas gotowania wody przy pomocy pierwszej spirali grzejnej jest równy 3 min, a przy pomocy drugiej spirali grzejnej 6 min, jeśli opór pierwszej spirali jest mniejszy od oporu drugiej spirali.

Drugie rozwiązanie daje nam wynik 6 min dla pierwszej spirali grzejnej i 3 min dla drugiej spirali grzejnej, jeśli opór drugiej spirali jest mniejszy od oporu pierwszej spirali.