Dane:

$U=9\text{V}$

$R_1=R_3=10\Omega$

$R_2=R_4=30\Omega$

Szukane:

$I_1,I_2,I_3,I_4=?$

$U_1,U_2,U_3,U_4=?$

Rozwiązanie:  

W celu ułatwienia obliczeń przyjmujemy:

$r=10\Omega$

$R_1=R_3=r$

$R_2=R_4=3r$    

Oznaczamy natężenia prądu na rysunku pomocniczym:

gdzie:

$I$ - natężenie prądu wypływającego ze źródła,

$I_{12}$ - natężenie prądu płynącego przez oporniki 1 i 2,

$I_3$ - natężenie prądu płynącego przez opornik 3,

$I_4$ - natężenie prądu płynącego przez opornik 4.

 

W pierwszym kroku obliczymy opór zastępczy układu w celu wyznaczenia natężenia prądu $I$   wypływającego ze źródła.

 

Oporniki 1 i 2 są połączone szeregowo, więc opór zastępczy obliczymy jako sumę ich oporów:  

$R_{12}=R_1+R_2$  

gdzie:

$R_{12}$ - opór zastępczy oporników 1 i 2,

$R_1$ - opór opornika 1,

$R_2$ - opór opornika 2.

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami możemy zapisać prościej:

$R_{12}=r+3r$

$R_{12}=4r$

 

Opornik zastępczy 12 i opornik 3 są połączone równolegle, zatem opór zastępczy wyrazimy jako:

$\frac{1}{R_{123}}=\frac{1}{R_{12}}+\frac{1}{R_3}$

gdzie:

$R_{123}$ - opór zastępczy oporników 1, 2 i 3,

$R_3$ - opór opornika 3.

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami zapisujemy uproszczone wyrażenie:

$\frac{1}{R_{123}}=\frac{1}{4r}+\frac{1}{r}$

$\frac{1}{R_{123}}=\frac{1}{4r}+\frac{4}{4r}$

$\frac{1}{R_{123}}=\frac{5}{4r}$

$R_{123}=\frac{4}{5}r$

 

Opornik zastępczy 123 i opornik 4 są połączone szeregowo, zatem:

$R_{1234}=R_{123}+R_4$

gdzie:

$R_{1234}$ - opór zastępczy oporników 1, 2, 3 i 4,

$R_4$ - opór opornika 4.

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami zapisujemy uproszczone wyrażenie:

$R_{1234}=\frac{4}{5}r+3r$

$R_{1234}=\frac{4}{5}r+\frac{15}{5}r$

$R_{1234}=\frac{19}{5}r$

Wstawiamy wartość liczbową:

$R_{1234}=\frac{19}{5}\cdot 10\Omega =38\Omega$

 

Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego w obwodzie jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia. Wówczas natężenie prądu możemy przedstawić wzorem:

$I=\frac{U}{R_{1234}}$ 

gdzie:

$I$ - natężenie prądy płynącego w obwodzie, 

$U$ - napięcie do jakiego podłączono obwód, 

$R_{1234}$ - opór zastępczy wszystkich podłączonych oporników. 

Wstawiamy dane liczbowe:

$I=\frac{9\text{V}}{38\Omega }=0,237\text{A}$

Obliczone natężenie to natężenie prądu wypływającego ze źródła. Pamiętajmy, że kiedy w obwodzie występuje rozgałęzienie (węzeł sieci), wówczas natężenia prądu płynącego w poszczególnych przewodach będą różne (ich suma będzie równa natężeniu w głównym przewodzie). Zauważmy, że opornik 4 podłączony jest do głównego przewodu, zatem natężenie przepływającego przez niego prądu jest takie samo, jak natężenie prądu wypływającego ze źródła:

$I_4=I$

gdzie:

$I_4$ - natężenie prądu płynącego przez opornik 4.

Zatem:

$I_4=0,237\mathrm{A}$

Kiedy znamy natężenie prądu przepływającego przez opornik oraz jego opór, korzystając z prawa Ohma możemy wyznaczyć napięcie na tym oporniku:

$U_4=I_4{R}_4$

gdzie:

$U_4$ - napięcie na oporniku 4.

Wstawiamy dane liczbowe:

$U_4=0,237\mathrm{A}\cdot 30\text{Ω}=7,11\mathrm{V}$

 

W kolejnym kroku skorzystamy z II prawa Kirchhoffa, dla jednego z oczek sieci:

Możemy wówczas zapisać:

$U=U_3+U_4$

gdzie:

$U_3$ - napięcie na oporze 3.

Wówczas:

$U_3=U-U_4$

Wstawiamy dane liczbowe:

$U_3=9\mathrm{V}-7,11\mathrm{V}=1,89\mathrm{V}$

Kiedy znamy już napięcie, korzystając z prawa Ohma możemy wyznaczyć natężenie prądu płynącego przez opornik 3:

$I_3=\frac{U_3}{R_3}$

gdzie:

$I_3$ - natężenie prądu przepływającego przez opornik 3.

Wstawiamy dane liczbowe:

$I_3=\frac{1,89\mathrm{V}}{10\Omega }=0,189\mathrm{A}$

 

Na rysunku widzimy, że prąd wypływający ze źródła rozdziela się na dwie gałęzie, zatem zgodnie z I prawem Kirchhoffa:

$I=I_{12}+I_3$

Wówczas:

$I_{12}=I-I_3$

Dodatkowo oporniki 1 i 2 połączone są szeregowo, więc płynie przez nie prąd o jednakowym natężeniu. Zgodnie z oznaczeniami przyjętymi na rysunku możemy zapisać, że:

$I_1=I_2=I_{12}$

gdzie:

$I_1$ - natężenie prądu przepływającego przez opornik 1,

$I_2$ - natężenie prądu przepływającego przez opornik 2.

Zatem:

$I_1=0,237\mathrm{A}-0,189\mathrm{A}=0,048\mathrm{A}$

Oraz:

$I_2=0,048\mathrm{A}$

 

W ostatnim kroku korzystając z prawa Ohma obliczamy napięcia na opornikach 1 i 2. Dla opornika 1 otrzymujemy:

$U_1=I_1{R}_1$

gdzie:

$U_1$ - napięcie na oporze 1.

Wstawiamy dane liczbowe:

$U_1=0,048\mathrm{A}\cdot 10\Omega =0,48\mathrm{V}$

Dla opornika 2 mamy:

$U_2=I_2{R}_2$

gdzie:

$U_2$ - napięcie na oporze 2.

Wstawiamy dane liczbowe:

$U_2=0,048\mathrm{A}\cdot 30\Omega =1,44\mathrm{V}$

 

Odpowiedź: Natężenia prądu płynącego przez oporniki wynoszą kolejno: 0,048 A, 0,048 A, 0,189 A oraz 0,237 A. Napięcia na opornikach mają wartości kolejno: 0,48 V, 1,44 V, 1,89 V oraz 7,11 V.