Proton i cząstka α wpadają...- Zadanie 16.14: Fizyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a)$

Cząstka alfa składa się z dwóch protonów i dwóch neutronów. Przyjmujemy, że masa neutronu jest w przybliżeniu równa masie protonu. Wówczas masa cząstki alfa ma postać:

$m_{α} = 4 \cdot m_{p}$

Natomiast ładunek cząstki alfa będzie miał postać:

$q_{α} = 2 \cdot e$

Na proton i cząstkę alfa działają siła Lorentza i siła dośrodkowa. Prędkość cząstki ma składowe prostopadła i równoległą do linii pola magnetycznego, które możemy opisać zależnościami trygonometrycznymi:

$sin γ = \frac{v _{⊥}}{v}, czyli v_{⊥} = v \cdot sin γ$

$cos γ = \frac{v _{∣ ∣}}{v}, czyli v_{∣ ∣} = v \cdot cos γ$

Wartość siły dośrodkowej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{d} = \frac{m \cdot v ^{2}}{r}$

gdzie $F_{d}$ jest wartością siły dośrodkowej działającej na ciało o masie $m$ poruszające się z szybkością $v$ po okręgu o promieniu $r$ .

Zależność prędkości liniowej od okresu obiegu ciała po okręgu ma postać:

$v = \frac{2 \cdot π}{T} \cdot r$

gdzie $v$ jest szybkością liniową, $T$ jest okresem obiegu okręgu o promieniu $r$ .

W naszym przypadku cząstki poruszając się po okręgu z prędkością równą składowej prostopadłej prędkości. Możemy zatem zapisać, że siła dośrodkowa ma postać:

$F_{d} = \frac{m \cdot v _{⊥}^{2}}{r}$

$F_{d} = \frac{m \cdot ( v \cdot sin γ ) ^{2}}{r}$

$F_{d} = \frac{m \cdot v ^{2} \cdot sin ^{2} γ}{r}$

Siłę Lorentza jest siłą magnetyczną działającą na naładowaną cząstkę wyrażona wzorem:

$F_{L} = q \cdot v \times B$

gdzie $F_{L}$ jest siłą Lorentza, $v$ jest prędkością liniową z jaką porusza się ładunek o wartości $q$ znajdujący się w polu o indukcji magnetycznej $B$ .

Z tego wynika, że jeżeli prędkość nachylona jest do linii pola magnetycznego pod katem $γ$ to siła Lorentza ma postać:

$F_{L} = q \cdot v \times B$

$F_{L} = q \cdot v \cdot B \cdot sin γ$

Porównajmy siły i wyznaczmy wartość okresu obiegu ciał po okręgu:

$F_{L} = F_{d}$

$q \cdot v \cdot B \cdot sin γ = \frac{m \cdot v ^{2} \cdot sin ^{2} γ}{r} ∣ : (v \cdot sin^{2} γ)$

$q \cdot B = \frac{m \cdot v \cdot sin γ}{r}$

$q \cdot B = \frac{m \cdot \frac{2 \cdot π}{T} \cdot r \cdot sin γ}{r}$

$q \cdot B = m \cdot \frac{2 \cdot π}{T} \cdot sin γ ∣ \cdot T$

$q \cdot B \cdot T = m \cdot 2 \cdot π \cdot sin γ ∣ : (q \cdot B)$

$T = \frac{m \cdot 2 \cdot π \cdot sin γ}{q \cdot B}$

Okres obiegu protonu będzie miał postać:

$T_{p} = \frac{m _{p} \cdot 2 \cdot π \cdot sin γ}{e \cdot B}$

Natomiast okres obiegu cząstki alfa będzie miał postać:

$T_{α} = \frac{m _{α} \cdot 2 \cdot π \cdot sin γ}{q _{α} \cdot B}$

$T_{α} = \frac{4 \cdot m _{p} \cdot 2 \cdot π \cdot sin γ}{2 \cdot e \cdot B}$

$T_{α} = \frac{4 \cdot π \cdot m _{p} \cdot sin γ}{e \cdot B}$

Skok linii śrubowej jest to droga przebyta przez cząstkę z prędkością v_|| (składowa prędkości równoległa do linii pola) w trakcie jednego okresu obiegu po okręgu:

$h = v_{I I} \cdot T$

gdzie h jest skokiem linii śrubowej, $v_{∣ ∣}$ jest prędkością, $T$ jest okresem obiegu.

Wówczas skok linii śrubowej protonu będzie miał postać:

$h_{p} = v_{I I} \cdot T_{p}$

$h_{p} = v \cdot cos γ \cdot \frac{m _{p} \cdot 2 \cdot π \cdot sin γ}{e \cdot B}$

$h_{p} = 2 \cdot sin γ \cdot cos γ \cdot \frac{π \cdot m _{p} \cdot v}{e \cdot B}$

$h_{p} = sin 2 γ \cdot \frac{π \cdot m _{p} \cdot v}{e \cdot B}$

Natomiast skok linii śrubowej cząstki alfa będzie miał postać:

$h_{α} = v_{I I} \cdot T_{α}$

$h_{α} = v \cdot cos γ \cdot \frac{4 \cdot π \cdot m _{p} \cdot sin γ}{e \cdot B}$

$h_{α} = 2 \cdot 2 \cdot sin γ \cdot cos γ \cdot \frac{π \cdot m _{p} \cdot v}{e \cdot B}$

$h_{α} = 2 \cdot sin 2 γ \cdot \frac{π \cdot m _{p} \cdot v}{e \cdot B}$

Wówczas stosunek skoku linii śrubowych protonu i cząstki alfa ma postać:

$\frac{h _{p}}{h _{α}} = \frac{sin 2 γ \cdot \frac{π \cdot m _{p} \cdot v}{e \cdot B}}{2 \cdot sin 2 γ \cdot \frac{π \cdot m _{p} \cdot v}{e \cdot B}}$

$\frac{h _{p}}{h _{α}} = \frac{1}{2}$

$\frac{h _{p}}{h _{α}} = 0, 5$

$b)$

Energie kinetyczną cząstki przyspieszonej różnicą potencjałów przedstawiamy wzorem:

$E_{k} = q \cdot U$

gdzie $E_{k}$ jest energią kinetyczna cząstki o wartości ładunku $q$ , która przemieści się w polu o różnicy potencjału $U$ .

Energie kinetyczną możemy przedstawić również za pomocą wzoru:

$E_{k} = \frac{m \cdot v ^{2}}{2}$

gdzie $E_{k}$ jest energią kinetyczną ciała o masie $m$ poruszającego się z szybkością $v$ .

Wówczas możemy wyznaczyć wartość prędkości cząstki:

$E_{k} = q \cdot U$

$\frac{m \cdot v ^{2}}{2} = q \cdot U ∣ \cdot 2$

$m \cdot v^{2} = 2 \cdot q \cdot U ∣ : m$

$v^{2} = \frac{2 \cdot q \cdot U}{m} ∣$

$v = \frac{2 \cdot q \cdot U}{m}$

Wiemy, że różnica potencjałów dla protonu i cząstki alfa jest taka sama. Oznacza to, że wartość prędkości protonu będzie miała postać:

$v_{p} = \frac{2 \cdot e \cdot U}{m _{p}}$

Natomiast wartość prędkości cząstki alfa będzie miała postać:

$v_{α} = \frac{2 \cdot q _{α} \cdot U}{m _{α}}$

$v_{α} = \frac{2 \cdot 2 \cdot e \cdot U}{4 \cdot m _{p}}$

$v_{α} = \frac{4 \cdot e \cdot U}{4 \cdot m _{p}}$

$v_{α} = \frac{e \cdot U}{m _{p}}$

Okresy obiegu protonu i cząstki alfa nie zmienią się. Wówczas skok linii śrubowej protonu będzie miał postać:

$h_{p} = v_{I I p} \cdot T_{p}$

$h_{p} = v_{p} \cdot cos γ \cdot T_{p}$

$h_{p} = \frac{2 \cdot e \cdot U}{m _{p}} \cdot cos γ \cdot \frac{m _{p} \cdot 2 \cdot π \cdot sin γ}{e \cdot B}$

$h_{p} = 2 \cdot \frac{e \cdot U}{m _{p}} \cdot \frac{m _{p} \cdot π}{e \cdot B} \cdot 2 \cdot sin γ \cdot cos γ$

$h_{p} = 2 \cdot \frac{e \cdot U}{m _{p}} \cdot \frac{m _{p} \cdot π}{e \cdot B} \cdot sin 2 γ$

Natomiast skok linii śrubowej cząstki alfa będzie wynosił:

$h_{α} = v_{I I α} \cdot T_{α}$

$h_{α} = v_{α} \cdot cos γ \cdot T_{α}$

$h_{α} = \frac{e \cdot U}{m _{p}} \cdot cos γ \cdot \frac{4 \cdot π \cdot m _{p} \cdot sin γ}{e \cdot B}$

$h_{α} = 2 \cdot \frac{e \cdot U}{m _{p}} \cdot \frac{π \cdot m _{p}}{e \cdot B} \cdot 2 \cdot sin γ \cdot cos γ$

$h_{α} = 2 \cdot \frac{e \cdot U}{m _{p}} \cdot \frac{π \cdot m _{p}}{e \cdot B} \cdot sin 2 γ$

Wówczas stosunek skoków linii śrubowych będzie miał postać:

$\frac{h _{p}}{h _{α}} = \frac{2 \cdot \frac{e \cdot U}{m _{p}} \cdot \frac{m _{p} \cdot π}{e \cdot B} \cdot sin 2 γ}{2 \cdot \frac{e \cdot U}{m _{p}} \cdot \frac{π \cdot m _{p}}{e \cdot B} \cdot sin 2 γ}$