Dane:

$R_1=24\Omega$  

$R_2=18\Omega$  

$C_1=6\mu \mathrm{F}=6\cdot 10^{-6}\mathrm{F}$  

$C_2=2\mu \mathrm{F}=2\cdot {10}^{-6}\mathrm{F}$  

$U=28\mathrm{V}$  

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$I=?$

$C_z=?$

$Q_1=?$

$Q_2=?$

$U_{AB}=?$

Rozwiązanie:

 

• Wyznaczamy natężenie prądu w obwodzie.

Mamy obwód, w którym na jednej gałęzi mamy dwa połączone szeregowo oporniki, a na drugiej dwa połączone ze sobą szeregowo kondensatory. Obie te gałęzi są ze sobą połączone równolegle i każda z nich podpięta jest do napięcia na obwodzie, czyli $U$. Przez układ kondensatorów prąd nie płynie. Dlatego cały prąd w obwodzie będzie płynął przez układ oporników. 

Zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego w przewodniku jest wprost proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców tego przewodnika. Wówczas natężenie prądu płynącego w przewodniku (lub urządzenie) możemy przedstawić wzorem:

$I=\frac{U}{R}$ 

gdzie:

$I$ - natężenie prądy płynącego w obwodzie, 

$U$ - napięcie do jakiego podłączono urządzenie lub przewód, 

$R$ - opór elektryczny. 

Znamy całkowite napięcie na obwodzie. Teraz musimy wyznaczyć opór zastępczy obwodu. Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo obliczamy korzystając z wzoru:

$R_z=\sum _{i=1}^n{R}_i$ 

gdzie:

$R_z$ - opór zastępczy układu,

$R_i$ - opór składowych oporników w układzie,

$i$ - indeks (wskaźnik),

$n$ - liczba oporników w układzie.

Wówczas opór zastępczy oporników w tym układzie będzie miał postać:

$R=R_1+R_2$  

 Z tego wynika, że natężenie prądu płynącego w obwodzie wynosi:

$I=\frac{U}{R}$

$I=\frac{U}{R_1+R_2}$ 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I=\frac{28\mathrm{V}}{24\Omega +18\Omega }=\frac{28\mathrm{V}}{42\Omega }=\frac{2}{3}\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{\Omega }}=\frac{2}{3}\mathrm{A}$

Odpowiedź: Natężenie prądu płynącego w obwodzie wynosi 2/3 A. 

 

• Pojemność zastępcza układu kondensatorów.

Kondensatory połączone są szeregowo. Pojemność zastępczą kondensatorów połączonych szeregowo obliczamy korzystając z wzoru:

$\frac{1}{C_z}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{C_i}$  

gdzie:

$C_z$ -  pojemność zastępcza układu kondensatorów,

$C_i$ -  pojemność poszczególnych kondensatorów w układzie.

Wówczas pojemność zastępcza układu kondensatorów będzie miała postać:

$\frac{1}{C_z}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$  

$\frac{1}{C_z}=\frac{C_2}{C_1\cdot C_2}+\frac{C_1}{C_1\cdot C_2}$  

$\frac{1}{C_z}=\frac{C_1+C_2}{C_1\cdot C_2}$  

Z tego wynika, że:

$C_z=\frac{C_1\cdot C_2}{C_1+C_2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$C_z=\frac{6\mu F\cdot 2\mu F}{6\mu F+2\mu F}=\frac{12\mu {\mathrm{F}}^2}{8\mu \mathrm{F}}=$  

$=\frac{3}{2}\mu \mathrm{F}=1,5\mu \mathrm{F}$

Odpowiedź: Pojemność zastępcza układu kondensatorów wynosi 1,5 μF.

 

• Ładunek na każdym kondensatorze.

Kondensatory połączone szeregowo mają taką własność, że na każdym kondensatorze zgromadzi się taki sam ładunek, a napięcia na poszczególnych kondensatorach będą różne:

$Q_1=Q_2=Q$   

$U_1\ne U_2$

gdzie:

$Q_1$ - ładunek zgromadzony na pierwszym kondensatorze, 

$Q_2$ - ładunek zgromadzony na drugim kondensatorze, 

$U_1$ - napięcie na pierwszym kondensatorze, 

$U_2$ - napięcie na drugim kondensatorze. 

Ponadto suma spadków napięć, na kondensatorach będzie odpowiadała napięciu na całej gałęzi, czyli:

$U_1+U_2=U$

Napięcie na kondensatorze możemy obliczyć z zależności:

$U=\frac{Q}{C}$

gdzie:

$U$ - napięcie, 

$Q$ - wartość ładunku, 

$C$ - pojemność. 

Oznacza to, że:

$U_1=\frac{Q_1}{C_1}$

$U_2=\frac{Q_2}{C_2}$

Wyznaczmy ładunek na każdym z kondensatorów:

$U_1+U_2=U$

$\frac{Q_1}{C_1}+\frac{Q_2}{C_2}=U$

$\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=U|\cdot C_1{C}_2$

$Q{C}_2+Q{C}_1=U{C}_1{C}_2$

$Q\left(C_2+C_1\right)=U{C}_1{C}_2|:\left(C_2+C_1\right)$

$Q=U\cdot \frac{C_1{C}_1}{C_1+C_2}$ 

 Podstawiamy dane liczbowe do wzoru: 

$Q=28\mathrm{V}\cdot \frac{6\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\cdot 2\cdot 10^{-6}\mathrm{F}}{6\cdot 10^{-6}\mathrm{F}+2\cdot 10^{-6}\mathrm{F}}=28\mathrm{V}\cdot \frac{12\cdot 10^{-12}{\mathrm{F}}^2}{8\cdot 10^{-6}\mathrm{F}}=$

$=28\mathrm{V}\cdot \frac{3}{2}\cdot 10^{-6}\mathrm{F}=\stackrel{14}{\cancel{28}}\mathrm{V}\cdot \frac{3}{\underset{1}{\cancel{2}}}\cdot 10^{-6}\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{V}}=$

$=42\cdot 10^{-6}\mathrm{C}=42\mu \mathrm{C}$

Otrzymujemy zatem, że:

$Q_1=Q_2=42\mu \mathrm{C}$  

Odpowiedź: Na każdym z kondensatorów zgromadził się ładunek o wartości 42 μC.

 

• Napięcie pomiędzy punktami A i B. Który z punktów ma wyższy potencjał?

Znając ładunek zgromadzony na kondensatorze 1 wyznaczamy napięcie na kondensatorze 1:

$U_1=\frac{Q_1}{C_1}$  

$U_1=\frac{42\cdot 10^{-6}\mathrm{C}}{6\cdot {10}^{-6}\mathrm{F}}=7\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{F}}=7\mathrm{V}$  

Potencjał w punkcie B będzie mniejszy od napięcie na obwodzie o napięcie kondensatora 1. Wynika to ze spadku napięcia i kierunku przepływu prądu w tym obwodzie:

$V_B=U-U_1$

$V_B=28\mathrm{V}-7\mathrm{V}=21\mathrm{V}$   

Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi nam, że suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z węzła wypływających. Oporniki 1 i 2 połączone są szeregowo, dlatego natężenie prądu w oporniku 1 jest takie samo jak natężenie prądu w oporniku 2:

$I_2=I_1$  

$\frac{U_{R2}}{R_2}=\frac{U_{R1}}{R_1}\mid \cdot R_2$   

$U_{R2}=U_{R1}\cdot \frac{R_2}{R_1}$  

Ponieważ układ oporników połączony jest równolegle z układem kondensatorów to:

$U_{1,2}=U$  

Oporniki połączone są szeregowo, dlatego możemy zapisać, że:

$U_{R1}+U_{R2}=U_{1,2}$  

$U_{R1}+U_{R2}=U$  

$U_{R1}+U_{R1}\cdot \frac{R_2}{R_1}=U\mid \cdot R_1$  

$U_{R1}\cdot R_1+U_{R1}\cdot R_2=U\cdot R_1$  

$U_{R1}\cdot \left(R_1+R_2\right)=U\cdot R_1\mid :\left(R_1+R_2\right)$  

$U_{R1}=U\cdot \frac{R_1}{R_1+R_2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_{R_1}=28\mathrm{V}\cdot \frac{24\Omega }{24\Omega +18\Omega }=28\mathrm{V}\cdot \frac{24\Omega }{42\Omega }=$  

$=28\mathrm{V}\cdot \frac{4}{7}=16\mathrm{V}$

Z tego wynika, że potencjał w punkcie A wynosi:

$V_A=U-U_{R1}$

$V_A=28\mathrm{V}-16\mathrm{V}=12\mathrm{V}$   

Z tego wynika, że napięcie między punktami A i B wynosi:

$U_{AB}=V_B-V_A$  

$U_{AB}=21V-12V=9V$   

Oznacza to, że:

$V_A<V_B$  

Odpowiedź: Napięcie między punktami A i B wynosi 9 V.  Wyższy potencjał mamy w punkcie B.

 

$\mathbf{b})$  

Po połączeniu punktów A i B przewodnikiem układ będzie miał postać:

W podpunkcie a) obliczyliśmy, że napięcie na oporniku 1 wynosi:

$U_{R1}=16V$  

Ponieważ kondensator 1 połączony jest równolegle z opornikiem 1 to napięcie na kondensatorze 1 będzie wynosiło:

$U_{C1}=16V$  

Ponieważ opornik 1 jest połączony szeregowo z opornikiem 2 to napięcie na oporniku 2 będzie wynosiło:

$U_{R1}+U_{R2}=U\mid -U_{R1}$  

$U_{R2}=U-U_{R1}$   

$U_{R2}=28V-16V=12V$  

Ponieważ kondensator 2 połączony jest równolegle z opornikiem 2 to napięcie na kondensatorze 2 będzie wynosiło:

$U_{C2}=U_{R2}$  

$U_{C2}=12V$  

Z tego wynika, że ładunki zgromadzone na poszczególnych kondensatorach będą miały postać:

▶ na pierwszym:

$Q_1=C_1\cdot U_{C1}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_1=6\cdot {10}^{-6}\mathrm{F}\cdot 16\mathrm{V}=96\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\cdot \mathrm{V}=$

$=96\cdot 10^{-6}\mathrm{C}=96\mu \mathrm{C}$  

▶ na drugim:

$Q_2=C_2\cdot U_{C2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_2=2\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\cdot 12\mathrm{V}=24\cdot 10^{-6}\mathrm{F}\cdot \mathrm{V}=$

$=24\cdot 10^{-6}\mathrm{C}=24\mu \mathrm{C}$

Odpowiedź: Napięcie na pierwszym kondensatorze wynosi 16 V, a na drugim 12 V. Ładunek zgromadzony na pierwszym kondensatorze wynosi 96 μC, a na drugim 24 μC.