Cztery kolejne rysunki przedstawiają...- Zadanie 3.17: Fizyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Przypadek z rysunku 1.

Dane:

$R_{1} = 24 Ω$

$R_{2} = 8 Ω$

$U = 12 V$

$C = 5 μ F = 5 \cdot 1 0^{- 6} F$

$a)$

Szukane:

$I = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie natężenia prądu przepływającego przez amperomierz umieszczony w obwodzie. Nie wiemy, w którą stronę płynie prąd, ale wiemy, gdzie znajduje się źródło prądu. W takim przypadku sami możemy dobrać sobie kierunek przepływającego prądu. Wiemy również, że przez gałąź, w której znajduje się kondensator prąd nie przepływa, a ładunki gromadzą się na tym kondensatorze. Otrzymamy wówczas:

gdzie:

$I$ - natężenie prądu płynącego przez cały obwód i przez amperomierz,

$I_{1}$ - natężenie prądu płynącego przez pierwszy opornik,

$I_{2}$ - natężenie prądu płynącego przez drugi opornik,

$R_{1}$ - opór pierwszego opornika,

$R_{2}$ - opór drugiego opornika,

$C$ - pojemność kondensatora,

$U$ - napięcie na źródle obwodu.

Znamy napięcie na całym obwodzie. Korzystając z prawa Ohma wiemy, że natężenie prądu płynącego przez cały obwód możemy przedstawić wzorem:

$I = \frac{U}{R _{z}}$

gdzie;

$R_{z}$ - opór zastępczy na całym obwodzie.

Opór zastępczy układu dwóch oporników połączonych równolegle będzie opisywała zależność:

$\frac{1}{R _{z}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

Z tego wynika, że opór zastępczy możemy przedstawić wzorem:

$\frac{1}{R _{z}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

$\frac{1}{R _{z}} = \frac{R _{2}}{R _{1} R _{2}} + \frac{R _{1}}{R _{1} R _{2}}$

$\frac{1}{R _{z}} = \frac{R _{2} + R _{1}}{R _{1} R _{2}}$

Odwracamy ułamek:

$R_{z} = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$

Zatem natężenie prądu wskazywane przez amperomierz oznaczymy za pomocą wzoru:

$I = \frac{U}{R _{z}}$

$I = \frac{U}{\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}}$

$I = \frac{U ( R _{1} + R _{2} )}{R _{1} R _{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I = \frac{12 V \cdot ( 24 Ω + 8 Ω )}{24 Ω \cdot 8 Ω} =$

$= \frac{12 V \cdot 32 Ω}{192 Ω ^{2}} = \frac{384 V}{192 Ω} =$

$= 2 \frac{V}{Ω} = 2 A$

Odpowiedź: Amperomierz wskazuje natężenie prądu równe 2 A.

$b)$

Szukane:

$Q = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ładunków zgromadzonych na kondensatorze. W obwodzie płynie prąd, przez co ładunki gromadzą się na płytkach kondensatora. Znamy jego pojemność. Zauważmy, że gałąź z kondensatorem jest równoległa do źródła napięcia. Zatem napięcie na tej gałęzi odpowiada napięciu w całym obwodzie. Wówczas prawdą jest, że ładunek zgromadzony na kondensatorze możemy w tym przypadku przedstawić wzorem:

$Q = C U$

gdzie:

$Q$ - wartość ładunku zgromadzonego na kondensatorze,

$C$ - pojemność kondensatora,

$U$ - napięcie na kondensatorze.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q = 5 \cdot 1 0^{- 6} F \cdot 12 V =$

$= 60 \cdot 1 0^{- 6} F \cdot V =$

$= 60 \cdot 1 0^{- 6} C = 60 μ C$

Odpowiedź: Na kondensatorze zgromadził się ładunek o wartości 60 μC.

Przypadek z rysunku 2.

Uwaga!

Zauważmy, że w tym przypadku kondensator umieszczony jest zaraz za źródłem prądu - jest z nim połączony szeregowo. Oznacza to, że w tym układzie kondensator ładuje się, ale prąd przez ten układ nie przepływa. Wówczas na dowolnym amperomierzu w tym obwodzie wskazywane natężenie jest zerowe.

$a)$

Zgodnie z powyższą uwagą:

$I = 0 A$

Odpowiedź: Amperomierz wskazuje natężenie prądu równe 0 A.

$b)$

Szukane:

$Q = ?$

Rozwiązanie:

Napięcie, do którego podłączony jest kondensator jest napięciem na całym obwodzie. Wówczas:

$Q = C U$

gdzie:

$Q$ - wartość ładunku zgromadzonego na kondensatorze,

$C$ - pojemność kondensatora,

$U$ - napięcie na kondensatorze.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q = 5 \cdot 1 0^{- 6} F \cdot 12 V =$

$= 60 \cdot 1 0^{- 6} F \cdot V =$

$= 60 \cdot 1 0^{- 6} C = 60 μ C$

Odpowiedź: Na kondensatorze zgromadził się ładunek o wartości 60 μC.

Przypadek z rysunku 3.

Dane:

$R_{1} = 1 Ω$

$R_{2} = 3 Ω$

$R_{3} = 8 Ω$

$U = 12 V$

$C = 5 μ F = 5 \cdot 1 0^{- 6} F$

$a)$

Szukane:

$I = ?$

Rozwiązanie:

gdzie:

$I$ - natężenie prądu płynącego przez cały obwód i przez amperomierz,

$R_{1}$ - opór pierwszego opornika,

$R_{2}$ - opór drugiego opornika,

$R_{3}$ - opór trzeciego opornika,

$C$ - pojemność kondensatora,

$U$ - napięcie na źródle obwodu.

W tym przypadku wszystkie oporniki połączone są ze sobą szeregowo i przez każdego z nich przepływa prąd o takim samym natężeniu. Otrzymujemy wówczas, że:

$R_{z} = R_{1} + R_{2} + R_{3}$

gdzie:

$R_{z}$ - opór zastępczy całego obwodu.

Wówczas zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego przez amperomierz ma postać:

$I = \frac{U}{R _{z}}$

$I = \frac{U}{R _{1} + R _{2} + R _{3}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I = \frac{12 V}{1 Ω + 3 Ω + 8 Ω} =$

$= \frac{12 V}{12 Ω} = 1 \frac{V}{Ω} = 1 A$

Odpowiedź: Amperomierz wskazuje natężenie prądu równe 1 A.

$b)$

Szukane:

$Q = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ładunków zgromadzonych na kondensatorze. W obwodzie płynie prąd, przez co ładunki gromadzą się na płytkach kondensatora. Znamy jego pojemność. Zauważmy, że gałąź z kondensatorem jest równoległa do opornika oznaczonego przez $R_{3}$ . Wówczas napięcie na kondensatorze jest takie same, jak napięcie na oporniku 3. Znamy natężenie prądu płynącego przez trzeci opornik. Zatem zgodnie z prawem Ohma napięcie na trzecim oporniku będzie miało postać:

$U_{3} = R_{3} I$

gdzie:

$U_{3}$ - napięcie na trzecim oporniku oraz na kondensatorze.

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$I = \frac{U}{R _{1} + R _{2} + R _{3}}$

Wówczas prawdą jest, że ładunek zgromadzony na kondensatorze możemy w tym przypadku przedstawić wzorem:

$Q = C U_{3}$

gdzie:

$Q$ - wartość ładunku zgromadzonego na kondensatorze,

$C$ - pojemność kondensatora.

W takim wypadku otrzymamy:

$Q = C U_{3}$

$Q = C R_{3} I$

$Q = C R_{3} \cdot \frac{U}{R _{1} + R _{2} + R _{3}}$

$Q = \frac{R _{3}}{R _{1} + R _{2} + R _{3}} \cdot C U$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q = \frac{8 Ω}{1 Ω + 3 Ω + 8 Ω} \cdot 5 \cdot 1 0^{- 6} F \cdot 12 V =$

$= \frac{8 Ω}{1 12 Ω} \cdot 5 \cdot 1 0^{- 6} F \cdot 121 V =$

$= 40 \cdot 1 0^{- 6} F \cdot V = 40 \cdot 1 0^{- 6} C =$

$= 40 μ C$

Odpowiedź: Na kondensatorze zgromadził się ładunek o wartości 40 μC.

Przypadek z rysunku 4.

Dane:

$R_{1} = 24 Ω$

$R_{2} = 8 Ω$

$R_{3} = 2 Ω$

$U = 12 V$

$C = 5 μ F = 5 \cdot 1 0^{- 6} F$

$a)$

Szukane:

$I_{2} = ?$

Rozwiązanie:

gdzie:

$I$ - natężenie prądu płynącego przez cały obwód (w tym przez opornik 3),

$I_{1}$ - natężenie prądu płynącego przez pierwszy opornik,

$I_{2}$ - natężenie prądu płynącego przez drugi opornik oraz przez amperomierz,

$R_{1}$ - opór pierwszego opornika,

$R_{2}$ - opór drugiego opornika,

$R_{3}$ - opór trzeciego opornika,

$C$ - pojemność kondensatora,

$U$ - napięcie na źródle obwodu.

Oporniki 1 i 2 są ze sobą połączone równolegle. Układ tych oporników jest połączony szeregowo z opornikiem 3. Oznacza to, że napięcie na opornikach 1 i 2 będzie takie samo:

$U_{1} = U_{2} = U_{1, 2}$

gdzie:

$U_{1}$ - napięcie na oporniku 1,

$U_{2}$ - napięcie na oporniku 2,

$U_{1, 2}$ - napięcie na oporniku 1 i 2.

Suma napięć na układzie oporników oraz oporniku 3 będzie odpowiadała napięciu na całym układzie:

$U = U_{1, 2} + U_{3}$

gdzie:

$U_{3}$ - napięcia na trzecim oporniku.

Wiemy, że zgodnie z prawem Kirchhoffa natężenia prądów płynących w układzie spełniają zależność:

$I = I_{1} + I_{2}$

Opór zastępczy oporników połączonych ze sobą równolegle będzie miał postać:

$\frac{1}{R _{1, 2}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

gdzie:

$R_{1, 2}$ - opór zastępczy oporników połączonych równolegle.

Zatem:

$\frac{1}{R _{1, 2}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$

$\frac{1}{R _{1, 2}} = \frac{R _{2}}{R _{1} R _{2}} + \frac{R _{1}}{R _{1} R _{2}}$

$\frac{1}{R _{1, 2}} = \frac{R _{2} + R _{1}}{R _{1} R _{2}}$

Odwracamy ułamek:

$R_{1, 2} = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$

Skoro układ oporników 1 i 2 jest połączony szeregowo z opornikiem 3 to układ zastępczy całego obwodu będzie wynosił:

$R_{z} = R_{1, 2} + R_{3}$

gdzie:

$R_{z}$ - opór zastępczy całego obwodu.

Wówczas zgodnie z prawem Ohma natężenie prądu płynącego przez opornik 3 oraz przez cały obwód wynosi:

$I = \frac{U}{R _{z}}$

$I_{3} = \frac{U}{R _{1, 2} + R _{3}}$

$I_{3} = \frac{U}{\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} + R _{3}}$

Spadek napięcia na oporniku 3 będzie zgodnie z prawem Ohma wynosił:

$U_{3} = I R_{3}$

$U_{3} = \frac{U}{\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} + R _{3}} \cdot R_{3}$

$U_{3} = \frac{U R _{3}}{\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} + R _{3}}$

Zatem spadek napięcia na układzie oporników 1 i 2 wynosi:

$U_{1, 2} + U_{3} = U ∣ - U_{3}$

$U_{1, 2} = U - U_{3}$

$U_{1, 2} = U - \frac{U R _{3}}{\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} + R _{3}}$

$U_{1, 2} = U (1 - \frac{R _{3}}{\frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} + \frac{R _{3} ( R _{1} + R _{2} )}{R _{1} + R _{2}}})$

$U_{1, 2} = U (1 - \frac{R _{3}}{\frac{R _{1} R _{2} + ( R _{1} + R _{2} ) R _{3}}{R _{1} + R _{2}}})$

$U_{1, 2} = U (1 - \frac{( R _{1} + R _{2} ) R _{3}}{R _{1} R _{2} + ( R _{1} + R _{2} ) R _{3}})$

Wówczas natężenie prądu płynącego przez opornik 2 oraz amperomierz będzie miało postać:

$I_{2} = \frac{U _{1, 2}}{R _{2}}$

$I_{2} = \frac{U ( 1 - \frac{( R _{1} + R _{2} ) R _{3}}{R _{1} R _{2} + ( R _{1} + R _{2} ) R _{3}} )}{R _{2}}$

$I_{2} = \frac{U}{R _{2}} (1 - \frac{( R _{1} + R _{2} ) R _{3}}{R _{1} R _{2} + ( R _{1} + R _{2} ) R _{3}})$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$I_{2} = \frac{12 V}{8 Ω} \cdot (1 - \frac{( 24 Ω + 8 Ω ) \cdot 2 Ω}{24 Ω \cdot 8 Ω + ( 24 Ω + 8 Ω ) \cdot 2 Ω}) =$

$= 1, 5 \frac{V}{Ω} \cdot (1 - \frac{32 Ω \cdot 2 Ω}{192 Ω ^{2} + 32 Ω \cdot 2 Ω}) =$

$= 1, 5 A \cdot (1 - \frac{64 Ω ^{2}}{192 Ω ^{2} + 64 Ω ^{2}}) =$

$= 1, 5 A \cdot (1 - \frac{64 Ω ^{2}}{256 Ω ^{2}}) = 1, 5 A \cdot (1 - 0, 25) =$

$= 1, 5 A \cdot 0, 75 = 1, 125 A$

Odpowiedź: Amperomierz wskazuje natężenie prądu równe 1 A.

$b)$

Szukane:

$Q = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ładunków zgromadzonych na kondensatorze. W obwodzie płynie prąd, przez co ładunki gromadzą się na płytkach kondensatora. Znamy jego pojemność. Zauważmy, że gałąź z kondensatorem jest równoległa do opornika 1 oraz do opornika 2. Zatem napięcie na tej gałęzi odpowiada napięciu na tych opornikach. Wówczas prawdą jest, że ładunek zgromadzony na kondensatorze możemy w tym przypadku przedstawić wzorem:

$Q = C U_{1, 2}$