Dwa ładunki, 0,25 nC i 0,5 nC...- Zadanie 1: Zrozumieć fizykę 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$Q_{1} = 0, 25 nC = 0, 25 \cdot 1 0^{- 9} C = 2, 5 \cdot 1 0^{- 10} C$

$Q_{2} = 0, 5 nC = 0, 5 \cdot 1 0^{- 9} C = 5 \cdot 1 0^{- 10} C$

$r = 1 m$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała elektryczna w próżni: $k = 9 \cdot 1 0^{9} N \cdot \frac{m ^{2}}{C ^{2}}$ .

$a)$

Szukane:

$E = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie natężenia pola elektrostatycznego w połowie odcinka łączącego ładunki. Zauważmy, że mamy do czynienia z dwoma dodatnimi ładunkami $Q_{1}$ i $Q_{2}$ . Wówczas wektor natężenia pochodzący od każdego z tych ładunków zwrócony jest od ładunku. Wartość natężenia centralnego pola elektrostatycznego w danym punkcie pola wyznaczamy korzystając z wzoru:

$E = \frac{k Q}{r ^{2}}$

gdzie:

$E$ - wartość natężenia centralnego pola elektrycznego,

$k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna),

$Q$ - wartość ładunku będącego źródłem pola,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy natężenie od ładunku źródłowego.

Skoro rozważamy punkt środkowy pomiędzy ładunkami to dla każdego z nich:

$r_{1} = \frac{1}{2} r$

$r_{2} = \frac{1}{2} r$

Wówczas natężenie pola pochodzące od pierwszego ładunku będzie miało wartość:

$E_{1} = \frac{k Q _{1}}{r _{1}^{2}}$

$E_{1} = \frac{k Q _{1}}{( \frac{1}{2} r ) ^{2}}$

$E_{1} = \frac{k Q _{1}}{\frac{1}{4} r ^{2}}$

$E_{1} = \frac{4 k Q _{1}}{r ^{2}}$

Natężenie pola pochodzące od drugiego ładunku będzie miało wartość

$E_{2} = \frac{k Q _{2}}{r _{2}^{2}}$

$E_{2} = \frac{k Q _{2}}{( \frac{1}{2} r ) ^{2}}$

$E_{2} = \frac{k Q _{2}}{\frac{1}{4} r ^{2}}$

$E_{2} = \frac{4 k Q _{2}}{r ^{2}}$

Wiemy, że:

$Q_{1} < Q_{2}$

Z tego wynika, że wypadkowy wektor natężenia będzie miał wartość:

$E = E_{2} - E_{1}$

$E = \frac{4 k Q _{2}}{r ^{2}} - \frac{4 k Q _{1}}{r ^{2}}$

$E = \frac{4 k}{r ^{2}} (Q_{2} - Q_{1})$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E = \frac{4 \cdot 9 \cdot 1 0 ^{9} \frac{N \cdot m ^{2}}{C ^{2}}}{( 1 m ) ^{2}} \cdot (5 \cdot 1 0^{- 10} C - 2, 5 \cdot 1 0^{- 10} C) =$

$= \frac{36 \cdot 1 0 ^{9} \frac{N \cdot m ^{2}}{C ^{2}}}{1 m ^{2}} \cdot 2, 5 \cdot 1 0^{- 10} C =$

$= 3, 6 \cdot 1 0^{10} \frac{N}{C ^{2}} \cdot 2, 5 \cdot 1 0^{- 10} C =$

$= 9 \cdot 1 0^{0} \frac{N}{C} = 9 \frac{N}{C}$

Odpowiedź: Natężenie pola w połowie odcinka łączącego ładunki ma wartość 9 N/C.

$b)$

Szukane:

$x = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest znalezienie punktu, na odcinku łączącym ładunki, w którym wartość natężenia pola jest zerowa. Oznacza to, że w tym punkcie natężenie pochodzące od pierwszego ładunku ma taką samą wartość, jak natężenie pochodzące od drugiego ładunku:

$E_{1} = E_{2}$

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$Q_{1}$ - wartość pierwszego ładunku,

$Q_{2}$ - wartość drugiego ładunku,

$E_{1}$ - natężenie pochodzące od pierwszego ładunku,

$E_{2}$ - natężenie pochodzące od drugiego ładunku,

$x$ - odległość pierwszego ładunku od miejsca, gdzie natężenia ma zerową wartość,

$r$ - odległość pomiędzy ładunkami.

Natężenie pola pochodzące od pierwszego ładunku będzie miało wartość:

$E_{1} = \frac{k Q _{1}}{x ^{2}}$

Natężenie pola pochodzące od drugiego ładunku będzie miało wartość:

$E_{2} = \frac{k Q _{2}}{( r - x ) ^{2}}$

Obliczmy w jakiej odległości od pierwszego ładunku znajduje się taki punkt:

$E_{1} = E_{2}$

$\frac{k Q _{1}}{x ^{2}} = \frac{k Q _{2}}{( r - x ) ^{2}} ∣ : k$

$\frac{Q _{1}}{x ^{2}} = \frac{Q _{2}}{( r - x ) ^{2}}$

$\frac{Q _{1}}{x} = \frac{Q _{2}}{r - x}$

Wymnażamy na krzyż:

$Q_{2} x = Q_{1} (r - x)$

$Q_{2} x = Q_{1} r - Q_{1} x + Q_{1} x$

$Q_{1} x + Q_{2} x = Q_{1} r$

$(Q_{1} + Q_{2}) x = Q_{1} r : (Q_{1} + Q_{2})$

$x = \frac{Q _{1}}{Q _{1} + Q _{2}} r$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x = \frac{0 , 25 nC}{0 , 25 nC + 0 , 5 nC} \cdot 1 m \approx$

$\approx \frac{0 , 5 nC}{0 , 5 nC + 0 , 7071 nC} \cdot 1 m =$

$= \frac{0 , 5 nC}{1 , 2071 nC} \cdot 1 m \approx$

$\approx 0, 414 \cdot 1 m = 0, 414 m$

Odpowiedź: Natężenie ma zerową wartość w odległości równej około 0,414 m od pierwszego ładunku.

$c)$

Na ładunek próbny umieszczony w polu elektrostatycznym działa siła oddziaływania elektrostatycznego. Z poprzednich podpunktów otrzymaliśmy, że w połowie odległości wypadkowy wektor natężenia pola zwrócony jest zgodnie z natężeniem wytwarzany przez ładunek $Q_{2}$ . Wówczas natężenie od ładunku $Q_{1}$ do punktu $E = 0$ zwrócone jest zgodnie ze zwrotem natężenia pola od ładunku $Q_{1}$ , a od punkty zerowego natężenia zwrócone jest zgodnie ze zwrotem natężenia pochodzącego od ładunku $Q_{2}$ . W zależności od rozważanego pomiędzy ładunkami punktu również wartość natężenia ulega zmianie. Zatem w zależności od położenia ładunku próbnego zmienia się zwrot i wartość wektora siły elektrostatycznej działającej na ładunek próbny.