$\text{2.1.}$  

Wiemy, że doba gwiazdowa wynosi:

$T=23\text{h}56\text{min}=23\cdot 3600\text{s}+56\cdot 60\text{s}=$  

$=82800\text{s}+3360\text{s}=86160\text{s}=8,616\cdot {10}^4\text{s}$  

Pytamy o orbitę, na której satelita porusza się z okresem równym połowie doby gwiazdowej, czyli:

$T_s=\frac{1}{2}T$  

Przyjmijmy, że satelita ten ma masę $m$ . Na orbicie pomiędzy nim i Ziemi oddziałuje siła grawitacji, która odpowiada sile dośrodkowej:

$F_d=F_g$  

Wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_g=\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{r^2}$  

gdzie $G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$  jest stałą grawitacji, $m_1$  i $m_2$  są oddziałującymi ze sobą masami, $r$  jest odległością pomiędzy środkami tych mas.

Zatem wartość siły grawitacji między Ziemią i satelitą ma postać:

$F_g=\frac{G{M}_{Z}m}{r^2}$  

gdzie $M_Z$  jest masą Ziemi, $r$  jest promieniem orbity tej satelity. 

Z tablic odczytujemy masę Ziemi:

$M_Z=5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}$  

Wartość siły dośrodkowej dla satelity przedstawiamy wzorem:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r_s}$  

gdzie $m$  jest masą satelity poruszającego się z szybkością liniową $s$  po orbicie o promieniu $r_s$ .

Szybkość liniową satelity możemy przedstawić za pomocą okresu, z jakim obiega Ziemię:

$v=\frac{2\pi r}{T_s}$  

Z powyższych zależności wynika, że promień orbity satelity możemy przedstawić wzorem:

$F_d=F_g$  

$\frac{\cancel{m}{v}^2}{\cancel{r}}=\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{r^{\cancel{2}}}$  

${\left(\frac{2\pi r}{T_s}\right)}^2=\frac{G{M}_Z}{r}$  

$\frac{4{\pi }^2{r}^2}{T_s^2}=\frac{G{M}_Z}{r}\mid \cdot T_s^{2}r$  

$4{\pi }^2{r}^3=G{M}_Z{T}_s^2\mid :4{\pi }^2$  

$r^3=\frac{G{M}_Z{T}_s^2}{4{\pi }^2}$  

$r^3=\frac{G{M}_Z{\left(\frac{1}{2}T\right)}^2}{4{\pi }^2}$  

$r^3=\frac{G{M}_Z\cdot \frac{1}{4}{T}^2}{4{\pi }^2}$  

$r^3=\frac{G{M}_Z{T}^2}{16{\pi }^2}\mid \sqrt[3]{}$  

$r=\sqrt[3]{\frac{G{M}_Z{T}^2}{16{\pi }^2}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$r=\sqrt[3]{\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}\cdot {\left(8,616\cdot {10}^4\text{s}\right)}^2}{16\cdot {3,14}^2}}=$  

$=\sqrt[3]{\frac{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 5,97\cdot {10}^{24}\text{kg}\cdot 74,235456\cdot {10}^8{\text{s}}^2}{16\cdot 9,8596}}=$