1.1. Oblicz, w jakiej odległości...- Zadanie Zadanie 1. Grawitacja Ziemi i Księżyca: Zrozumieć fizykę 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$1.1.$

Wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_{g} = \frac{G \cdot m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}$

gdzie $G = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{kg ^{2}}$ jest stałą grawitacji, $m_{1}$ i $m_{2}$ są oddziałującymi ze sobą masami, $r$ jest odległością pomiędzy środkami tych mas.

Niech masa pewnego ciała oddziałującego grawitacyjnie z Ziemią i Księżycem wynosi $m$ .

Z tablic odczytujemy masy Ziemi, Księżyca oraz promienie Ziemi i Księżyca:

$M_{Z} = 5, 97 \cdot 10^{24} kg$

$M_{K} = 73, 5 \cdot 10^{21} kg = 7, 35 \cdot 10^{22} kg$

$R_{Z} = 6370 km = 6, 37 \cdot 10^{3} km = 6, 37 \cdot 10^{6} m$

$R_{K} = 1737, 5 km = 1, 7375 \cdot 10^{3} km = 1, 7375 \cdot 10^{6} m$

Siła grawitacji oddziałująca na ciało przy powierzchni Księżyca ma wartość:

$F_{g . K} = \frac{G M _{K} m}{R _{K}^{2}}$

Wartość siły grawitacji oddziałującej na ciało w pewnej odległości $x$ od jej powierzchni przedstawimy jako:

$F_{g . Z} = \frac{G M _{Z} m}{( R _{Z} + x ) ^{2}}$

Porównując oba wzory na wartości sił wyznaczamy odległość od powierzchni Ziemi, w której siła grawitacji działająca na ciało ma taką samą wartość jak przy powierzchni Księżyca:

$F_{g . K} = F_{g . Z}$

$\frac{G M _{K} m}{R _{K}^{2}} = \frac{G M _{Z} m}{( R _{Z} + x ) ^{2}}$

$\frac{M _{K}}{R _{K}^{2}} = \frac{M _{Z}}{( R _{Z} + x ) ^{2}} ∣$

$\frac{M _{K}}{R _{K}} = \frac{M _{Z}}{R _{Z} + x}$

Wymnażamy ma krzyż:

$(R_{z} + x) M_{K} = R_{K} M_{Z}$

$R_{z} M_{K} + x M_{K} = R_{K} M_{Z} ∣ - R_{z} M_{K}$

$x M_{K} = R_{K} M_{Z} - R_{z} M_{K} ∣ : M_{K}$

$x = R_{K} \frac{M _{Z}}{M _{K}} - R_{z}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x = 1, 7375 \cdot 10^{6} m \cdot \frac{5 , 97 \cdot 10 ^{24} kg}{7 , 35 \cdot 10 ^{22} kg} - 6, 37 \cdot 10^{6} m \approx 1, 7375 \cdot 10^{6} m \cdot 0, 812 \cdot 10^{2} - 6, 37 \cdot 10^{6} m =$