Dane:

$d_D=1,4\mathrm{km}=1,4\cdot {10}^3\mathrm{m}$

$R_{\text{orbity}}=108\mathrm{km}=108\cdot {10}^3\mathrm{m}=1,08\cdot {10}^5\mathrm{m}$

$T=37\mathrm{h}=37\cdot 3600\mathrm{s}=133200\mathrm{s}=1,332\cdot {10}^5\mathrm{s}$

 

$1.$  

Naszym zadaniem jest wykazanie, że prędkość liniowa Daktyla ma wartość około 5,1 m/s.

Daktyl porusza się po orbicie wokół Idy z pewną prędkością liniową. Wartość prędkości liniowej w zależności od kątowej przedstawimy wzorem:

$v=\omega R_{\mathrm{orbity}}$  

gdzie:

$v$ - wartość prędkości liniowej Daktyla,

$\omega$ - wartość prędkości kątowej,

$R_{\mathrm{orbity}}$ - promień orbity.

Wartość prędkości kątowej satelity, w zależności od okresu jego ruchu przedstawimy wzorem:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

gdzie:

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres ruchu.

Z tego wynika, że wartość prędkości liniowej Daktyla możemy przedstawić wzorem:

$v=\omega R_{\text{orbity}}$  

$v=\frac{2\pi }{T}\cdot R_{\text{orbity}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\frac{2\cdot 3,14}{1,332\cdot \cancel{{10}^5}\mathrm{s}}\cdot 1,08\cdot \cancel{{10}^5}\mathrm{m}=\frac{6,7824}{1,332}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\approx 5,1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$  

Co należało wykazać.

 

$2.$  

Dane:

$v=5,1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$  

$R_{\text{orbity}}=1,08\cdot {10}^5\mathrm{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała grawitacji: $G=6,67\cdot 10^{-11}\mathrm{N}\cdot \frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}$.

Szukane:

$M=?$

Rozwiązanie:

Masę planetoidy wyznaczymy korzystając z faktu, że siła grawitacji działająca na satelitę pełni w jej ruchu po orbicie rolę siły dośrodkowej:

$F_d=F_g$

gdzie:

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej,

$F_g$ - wartość siły grawitacji.

Wartość siły grawitacji działającej na Daktyla przedstawimy wzorem:

$F_g=\frac{GMm}{R_{\mathrm{orbity}}^2}$  

gdzie:

$G$ - stała grawitacji,

$M$ - masa Idy,

$m$ - masa satelity Daktyl,

$R_{\mathrm{orbity}}$ - promień orbity.

Wartość siły dośrodkowej przedstawimy za pomocą wzoru:

$F_d=\frac{m{v}^2}{R_{\mathrm{orbity}}}$  

gdzie:

$v$ - wartość prędkości satelity.

Korzystając z powyższych wzorów wyznaczamy wyrażenie na masę Idy:

$F_d=F_g$  

$\frac{m{v}^2}{R_{\mathrm{orbity}}}=\frac{GmM}{R_{\mathrm{orbity}}^2}\mid :m$  

$\frac{v^2}{R_{\mathrm{orbity}}}=\frac{GM}{R_{\mathrm{orbity}}^2}\mid \cdot R_{\mathrm{orbity}}^2$  

$v^2{R}_{\mathrm{orbity}}=GM\mid :G$

$M=\frac{v^2{R}_{\mathrm{orbity}}}{G}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$M=\frac{{\left(5,1\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2\cdot 1,08\cdot {10}^5\mathrm{m}}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^2}}=\frac{26,01\frac{\cancel{{\mathrm{m}}^2}}{\cancel{{\mathrm{s}}^2}}\cdot 1,08\cdot {10}^5\cancel{\mathrm{m}}}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\cancel{\mathrm{k}\mathrm{g}}\cdot \frac{\cancel{\mathrm{m}}}{\cancel{{\mathrm{s}}^2}}\cdot \cancel{{\mathrm{m}}^2}}{\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{\cancel{2}}}}=$  

$=\frac{28,0908\cdot {10}^5}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{1}{\mathrm{k}\mathrm{g}}}\approx 4,21151\cdot {10}^{16}\mathrm{kg}\approx 4,2\cdot {10}^{16}\mathrm{kg}$

Odpowiedź: Planetoida Ida ma masę około 4,2⋅10¹⁶ kg.