Naszym celem jest wyprowadzenie wzoru wiążącego masy obu gwiazd i okresy obiegu dla planet poruszających się po ich orbitach.

Wartość prędkości orbitalnej wyrażamy jako:

$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$

gdzie:

$v_{\text{I}}$ - wartość prędkości orbitalnej,

$G$ - stała grawitacji, 

$M$ - masa obieganego ciała niebieskiego, 

$R$ - promień orbity.

Równocześnie dla ruchu po okręgu możemy zapisać:

$v=\frac{2\pi R}{T}$

gdzie:

$T$ - okres ruchu po okręgu.

Porównamy kwadraty prędkości wyrażone przez oba wzory.

$v^2=\frac{GM}{R}$

$v^2=\frac{4{\pi }^2{R}^2}{T^2}$

Otrzymujemy:

$\frac{GM}{R}=\frac{4{\pi }^2{R}^2}{T^2}$

Przekształcamy otrzymane równanie tak, by po jednej jego stronie pozostały tylko stałe.

$\frac{GM}{R}=\frac{4{\pi }^2{R}^2}{T^2}|\cdot R$

$GM=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{T^2}|:M$

$G=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{M{T}^2}|:4{\pi }^2$

$\frac{G}{4{\pi }^2}=\frac{R^3}{M{T}^2}$

Możemy zapisać tę zależność osobno dla każdej z gwiazd i planet. Gwiazdy mają różne masy, a planety różne okresy obiegu. Promienie orbit są takie same.

▶ gwiazda 1.

$\frac{G}{4{\pi }^2}=\frac{R^3}{M_1{T}_1^2}$

▶ gwiazda 2.

$\frac{G}{4{\pi }^2}=\frac{R^3}{M_2{T}_2^2}$

Porównujemy obie zależności:

$\frac{R^3}{M_1{T}_1^2}=\frac{R^3}{M_2{T}_2^2}|:R^3$

$\frac{1}{M_1{T}_1^2}=\frac{1}{M_2{T}_2^2}$

Przekształcamy wyprowadzoną zależność.

$\frac{M_2}{M_1}=\frac{T_1^2}{T_2^2}$

Otrzymaliśmy wzór wiążący masy gwiazd i okresy obiegu dla obiegających ich planet.