Przypuśćmy, że w pewnej...- Zadanie Zadanie 679.: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych

Rozwiązanie

$1 .$

Dane:

$r = 4, 59 \cdot 10^{6} m$

Przyjmujemy, że stała grawitacyjna oraz masa Ziemi odpowiednio wynoszą:

$G = 6, 67 \cdot 10^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g ^{2}}$

$M_{Z} = 5, 98 \cdot 10^{24} k g$

Rozwiązanie:

Wiemy, że przyspieszenie grawitacyjne to przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, na które działa wyłącznie siła grawitacji. Przedstawiamy je za pomocą wzoru:

$a_{g} = \frac{G \cdot M}{r ^{2}}$

gdzie a_g jest przyspieszeniem grawitacyjnym, M jest masą planety, na której badamy przyspieszenie grawitacyjne, r jest odległością od środka planety w jakiej badamy przyspieszenie grawitacyjne, G jest stałą grawitacyjną. Wiemy, że ta planeta ma trzy razy mniejszą masę od Ziemi:

$M = \frac{1}{3} \cdot M_{Z}$

Z tego wynika, że:

$a_{g} = \frac{G \cdot M}{r ^{2}}$

$a_{g} = \frac{G \cdot \frac{1}{3} M _{Z}}{r ^{2}}$

$a_{g} = \frac{G M _{Z}}{3 r ^{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a_{g} = \frac{6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g ^{2}} \cdot 5 , 98 \cdot 10 ^{24} k g}{3 \cdot ( 4 , 59 \cdot 10 ^{6} m ) ^{2}} = \frac{6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{k g \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m ^{2}}{k g ^{2}} \cdot 5 , 98 \cdot 10 ^{24} k g}{3 \cdot 21 , 0681 \cdot 10 ^{12} m ^{2}} =$

$= \frac{39 , 8866 \cdot 10 ^{13} \frac{m}{s ^{2}}}{63 , 2043 \cdot 10 ^{12}} = \frac{398 , 866 \cdot 10 ^{12} \frac{m}{s ^{2}}}{63 , 2043 \cdot 10 ^{12}} \approx 6, 31 \frac{m}{s ^{2}}$

$2 .$

Dane:

$l = 1 m$

$T = 2, 52 s$

Rozwiązanie:

Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem:

$T = 2 π \frac{l}{a _{g}}$

gdzie l jest długością tego wahadła, a_g jest przyspieszeniem grawitacyjnym. Z tego wynika, że przyspieszenie grawitacyjne na równiku tej planety będzie miało postać:

$T = 2 π \frac{l}{a _{g}} ∣^{2}$

$T^{2} = 4 π^{2} \frac{l}{a _{g}} ∣ \cdot a_{g}$

$a_{g} T^{2} = 4 π^{2} l ∣ : T^{2}$

$a_{g} = \frac{4 π ^{2} l}{T ^{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a_{g} = \frac{4 \cdot 3 , 14 ^{2} \cdot 1 m}{( 2 , 52 s ) ^{2}} = \frac{4 \cdot 9 , 8596 \cdot 1 m}{6 , 3504 s ^{2}} = \frac{39 , 4384 m}{6 , 3504 s ^{2}} \approx 6, 21 \frac{m}{s ^{2}}$

$3 .$

Na wahadło matematyczne znajdujące się na biegunie działa siła ciężkości. Na wahadło matematyczne znajdujące się na równiku działaj siła ciężkości oraz siła dośrodkowa. Siłę ciężkości przedstawiamy wzorem:

$F_{g} = m g$

gdzie m jest masą ciała, g jest przyspieszeniem grawitacyjnym działającym na ciało. Na wahadło matematyczne znajdujące się na biegunie działająca siła ciężkości ma postać:

$F_{g b} = m g_{b}$

gdzie:

$g_{b} = 6, 31 \frac{m}{s ^{2}}$

Na wahadło matematyczne znajdujące się na równiku działa siła ciężkości, która ma postać:

$F_{g r} = m g_{r}$

gdzie:

$g_{r} = 6, 22 \frac{m}{s ^{2}}$

Siłę dośrodkową przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_{d} = \frac{m v ^{2}}{r}$

gdzie F_d jest siłą dośrodkową działającą na ciało o masie m poruszające się z prędkością liniową po okręgu o promieniu r. Zauważmy, że:

$F_{g b} = F_{g r} + F_{d}$

Wyznaczmy prędkość liniową z jaką obraca się Ziemia:

$F_{g b} = F_{g r} + F_{d}$

$m g_{b} = m g_{r} + \frac{m v ^{2}}{r} ∣ : m$

$g_{b} = g_{r} + \frac{v ^{2}}{r} ∣ - g_{r}$

$g_{b} - g_{r} = \frac{v ^{2}}{r} ∣ \cdot r$

$r (g_{b} - g_{r}) = v^{2} ∣$

$r (g_{b} - g_{r}) = v$

Prędkość liniową w zależności od prędkości kątowej przedstawiamy wzorem:

$v = ω r$

gdzie v jest prędkością liniową ciała, ? jest prędkością kątową ciała, r jest promieniem okręgu po jakim porusza się ciało. Prędkość kątową ciała w zależności od okresu jego ruchu przedstawiamy wzorem:

$ω = \frac{2 π}{T}$

gdzie ω jest prędkością kątową, T jest okresem ruchu ciała. Z tego wynika, że okres obrotu tej planety wynosi:

$r (g_{b} - g_{r}) = v$

$r (g_{b} - g_{r}) = ω r$

$r (g_{b} - g_{r}) = \frac{2 π}{T} r ∣ \cdot T$

$T r (g_{b} - g_{r}) = 2 π r ∣ : r (g_{b} - g_{r})$

$T = \frac{2 π r}{r ( g _{b} - g _{r} )}$

$T = 2 π \frac{r ^{2}}{r ( g _{b} - g _{r} )}$

$T = 2 π \frac{r}{g _{b} - g _{r}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T = 2 \cdot 3, 14 \cdot \frac{4 , 59 \cdot 10 ^{6} m}{6 , 31 \frac{m}{s ^{2}} - 6 , 22 \frac{m}{s ^{2}}} = 6, 28 \cdot \frac{4 , 59 \cdot 10 ^{6} m}{0 , 09 \frac{m}{s ^{2}}} = 6, 28 \cdot 51 \cdot 10^{6} s^{2} \approx$

$\approx 6, 28 \cdot 7, 14 \cdot 10^{3} s = 44, 839 \cdot 10^{3} s = 44839 s = (43200 + 1639) s =$

$= (12 \cdot 3600 + 1639) s = 12 \cdot 3600 s + 1639 s = 12 h 1639 s = 12 h (1620 + 19) s =$

$= 12 h (27 \cdot 60 s + 19 s) = 12 h 27 min 19 s$

$4 .$

Druga prędkość kosmiczna jest to minimalna prędkość jaką należy nadać ciału na powierzchni ciała niebieskiego (o promieniu R), aby mogło się ono oddalić nieskończenie daleko od tego ciała niebieskiego. Przedstawiamy ją wzorem:

$v_{I I} = \frac{2 \cdot G \cdot M}{R}$

gdzie G jest stałą grawitacji, M jest masą ciała niebieskiego, R jest promieniem ciała niebieskiego. Dla naszego przypadku otrzymujemy, że:

$v_{I I} = \frac{2 G M}{r}$

$v_{I I} = \frac{2 G \cdot \frac{1}{3} M _{Z}}{r}$

$v_{I I} = \frac{2 G M _{Z}}{3 r}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_{I I} = \frac{2 \cdot 6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{N \cdot m ^{2}}{k g ^{2}} \cdot 5 , 98 \cdot 10 ^{24} k g}{3 \cdot 4 , 59 \cdot 10 ^{6} m} = \frac{2 \cdot 6 , 67 \cdot 10 ^{- 11} \frac{k g \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m}{k g} \cdot 5 , 98 \cdot 10 ^{24}}{13 , 77 \cdot 10 ^{6}} =$

$= \frac{79 , 7732 \cdot 10 ^{13} \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}{13 , 77 \cdot 10 ^{6}} = \frac{797 , 732 \cdot 10 ^{12} \frac{m ^{2}}{s ^{2}}}{13 , 77 \cdot 10 ^{6}} \approx 57, 9326 \cdot 10^{6} \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \approx$