Dane:

$T_1={17}^{\circ }\text{C}=290\text{K}$  

$p_m=2,5\text{bar}=2,5\cdot {10}^5\text{Pa}$  

$p_{\text{at}}=1000\text{hPa}=100000\text{Pa}=1\cdot {10}^5\text{Pa}$  

$\Delta p=0,7\text{bar}=0,7\cdot {10}^5\text{Pa}$  

$V=26{\text{dm}}^3=0,026{\text{m}}^3$  

Przyjmujemy, że stała gazowa wynosi:

$R=8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}$  

 

$a)$  

Ciśnienie w oponie będzie sumą ciśnienia wskazywanego przez manometr oraz ciśnienia atmosferycznego:

$p_1=p_m+p_{\text{at}}$  

Zatem zgodnie z równaniem Clapeyrona możemy wyznaczyć liczbę moli powietrza w oponie:

$nR{T}_1=p_{1}V$  

$nR{T}_1=\left(p_m+p_{\text{at}}\right)V\mid :R{T}_1$  

$n=\frac{\left(p_m+p_{\text{at}}\right)V}{R{T}_1}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n=\frac{\left(2,5\cdot {10}^5\text{Pa}+1\cdot {10}^5\text{Pa}\right)\cdot 0,026{\text{m}}^3}{8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}\cdot 290\text{K}}=$  

$=\frac{3,5\cdot {10}^5\text{Pa}\cdot 0,026{\text{m}}^3}{2409,9\frac{\text{J}}{\text{mol}}}=\frac{3,5\cdot {10}^5\frac{\text{J}}{{\text{m}}^3}\cdot 0,026{\text{m}}^3}{2409,9\frac{\text{J}}{\text{mol}}}=$  

$=\frac{0,091\cdot {10}^5\text{J}}{2409,9\frac{\text{J}}{\text{mol}}}=\frac{9100\text{J}}{2409,9\frac{\text{J}}{\text{mol}}}\approx$  

$\approx 3,77609\text{mol}\approx 3,78\text{mol}$  

 

$b)$  

Wiemy, że ciśnienie w oponie wzrosło o $\Delta p$ , czyli:

$p_2=p_1+\Delta p$  

$p_2=p_m+p_{\text{at}}+\Delta p$  

Temperatura wzrasta o pewną wartość $\Delta T$ , czyli możemy zapisać, że:

$T_2=T_1+\Delta T$  

Liczba moli nie ulega zmianie, czyli nadal możemy przedstawić ją wzorem:

$n=\frac{\left(p_m+p_{\text{at}}\right)V}{R{T}_1}$  

Objętość nie ulega zmianie.

Wówczas z równania Clapeyrona możemy wyznaczyć zmianę tej temperatury:

$nR{T}_2=p_{2}V$  

$\frac{\left(p_m+p_{\text{at}}\right)\cancel{V}}{\cancel{R}{T}_1}\cancel{R}\left(T_1+\Delta T\right)=\left(p_m+p_{\text{at}}+\Delta p\right)\cancel{V}\mid \cdot T_1$  

$\left(p_m+p_{\text{at}}\right)\left(T_1+\Delta T\right)=\left(p_m+p_{\text{at}}+\Delta p\right)T_1\mid :\left(p_m+p_{\text{at}}\right)$  

$T_1+\Delta T=\frac{p_m+p_{\text{at}}+\Delta p}{p_m+p_{\text{at}}}{T}_1\mid -T_1$  

$\Delta T=\frac{p_m+p_{\text{at}}+\Delta p}{p_m+p_{\text{at}}}{T}_1-T_1$  

$\Delta T=\left(\frac{p_m+p_{\text{at}}+\Delta p}{p_m+p_{\text{at}}}-1\right)T_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta T=\left(\frac{2,5\cdot {10}^5\text{Pa}+1\cdot {10}^5\text{Pa}+0,7\cdot {10}^5\text{Pa}}{2,5\cdot {10}^5\text{Pa}+1\cdot {10}^5\text{Pa}}-1\right)\cdot 290\text{K}=$  

$=\left(\frac{4,2\cdot {10}^5\text{Pa}}{3,5\cdot {10}^5\text{Pa}}-1\right)\cdot 290\text{K}=\left(1,2-1\right)\cdot 290\text{K}=$  

$=0,2\cdot 290\text{K}=58\text{K}$