W którym ze stanów (1), (2), (3), w trakcie przemian...- Zadanie 8.1.1.: Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest rozważenie stanów gazu doskonałego przedstawionych na rysunku a). Odpowiemy na pytanie, w którym stanie ciśnienie gazu jest największe, a w którym najmniejsze. Później wykonamy wykres zależności w układzie $(p, V)$ .

Mamy na tym wykresie trzy stany gazu. Przyjmijmy, że jedna kratka na wykresie odpowiada zmianie temperatury o jednostkę $T_{0}$ oraz zmianie objętości o jednostkę $V_{0}$ . Z wykresu odczytujemy:

Zgodnie z przyjętą jednostką mamy:

$T_{1} = 2 T_{0}$

$T_{2} = 6 T_{0}$

$T_{3} = 2 T_{0}$

$V_{2} = 7 V_{0}$

$V_{3} = 7 V_{0}$

gdzie:

$T_{0}$ - przyjęta jednostka temperatury,

$T_{1}$ - temperatura w stanie 1,

$T_{2}$ - temperatura w stanie 2,

$T_{3}$ - temperatura w stanie 3,

$V_{2}$ - objętość w stanie 2,

$V_{3}$ - objętość w stanie 3.

Z wykresu wynika, że w przemianie 1→2 objętość jest wprost proporcjonalna do temperatury. Skoro przedłużenie wykresu wypada w początku układu współrzędnych to mamy do czynienia z przemianą izobaryczną, czyli przy stałym ciśnieniu.

Dla przemiany izobarycznej gazu doskonałego zgodnie z prawem Gay - Lussaca prawdziwa jest równość:

$\frac{V}{T} = const$

gdzie:

$V$ - objętość gazu,

$T$ - temperatura gazu.

Zatem dla parametrów gazu w pierwszej i drugiej przemianie otrzymamy równość:

$\frac{V _{1}}{T _{1}} = \frac{V _{2}}{T _{2}} ∣ \cdot T_{1}$

$V_{1} = \frac{T _{1}}{T _{2}} \cdot V_{2}$

Podstawmy do tego wzoru wielkości wyrażone za pomocą przyjętej jednostki:

$V_{1} = \frac{2 T _{0} 1}{3 6 T _{0}} \cdot 7 V_{0}$

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot 7 V_{0}$

$V_{1} = \frac{7}{3} V_{0}$

Teraz potrzebujemy wyrazić ciśnienia w poszczególnych stanach gazu za pomocą znanych parametrów. Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

Zacznijmy od przedstawienia jednostkowego ciśnienia korzystając z równania Clapeyrona:

$p_{0} V_{0} = n R T_{0} ∣ : V_{0}$

$p_{0} = \frac{n R T _{0}}{V _{0}}$

Dla pierwszego stanu gazu ciśnienie będzie wynosiło:

$p_{1} = \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$

$p_{1} = \frac{n R \cdot 2 T _{0}}{\frac{7}{3} V _{0}}$

$p_{1} = \frac{2 \cdot 3}{7} \cdot \frac{n R T _{0}}{V _{0}}$

$p_{1} = \frac{6}{7} p_{0}$

Dla drugiego stanu gazu ciśnienie ma postać:

$p_{2} = \frac{n R T _{2}}{V _{2}}$

$p_{2} = \frac{n R \cdot 6 T _{0}}{7 V _{0}}$

$p_{2} = \frac{6}{7} \cdot \frac{n R T _{0}}{V _{0}}$

$p_{2} = \frac{6}{7} p_{0}$

Dla trzeciego stanu gazu ciśnienie ma postać:

$p_{3} = \frac{n R T _{3}}{V _{3}}$

$p_{3} = \frac{n R \cdot 2 T _{0}}{7 V _{0}}$

$p_{3} = \frac{2}{7} \cdot \frac{n R T _{0}}{V _{0}}$

$p_{3} = \frac{2}{7} p_{0}$

Z otrzymanych ciśnień wynika, że ciśnienie gazu w stanie pierwszym i drugim jest takie samo:

$p_{1} = p_{2}$

Ponieważ $\frac{2}{7} < \frac{6}{7}$ to oznacza, że $p_{1} < p_{3}$ . Zatem również $p_{2} < p_{3}$ .

Następnym naszym zadaniem jest narysowanie przemian gazu w układzie współrzędnych $(p, V)$ , czyli na osi poziomej mamy ciśnienie, a na pionowej objętość. Zacznijmy od narysowania układu współrzędnych, w którym zaznaczymy podstawowe jednostki dostosowane do skali wykresu:

Korzystając z poprzednich obliczeń zapiszmy współrzędne stanów gazu w tym układzie:

$(p_{1}, V_{1}) = (\frac{6}{7} p_{0}, \frac{7}{3} V_{0}) = (\frac{6}{7} p_{0}, 2 \frac{1}{3} V_{0})$

$(p_{2}, V_{2}) = (\frac{6}{7} p_{0}, 7 V_{0})$

$(p_{3}, V_{3}) = (\frac{2}{7} p_{0}, 7 V_{0})$

Zaznaczmy te współrzędne w układzie współrzędnych:

Oznaczamy następnie poszczególne stany gazu:

Z wykresu dołączonego do zadania wiemy, że przemiana 1→2 jest izobaryczna, a przemiana 2→3 jest izochoryczna. Możemy dlatego zaznaczyć odcinki symbolizujące te przemiany:

W przypadku przemiany 3→2, która jest izotermiczna, wiemy, że zależność objętości od ciśnienia jest odwrotnie proporcjonalna. Dlatego pomiędzy tymi przemianami mamy krzywą, która jest kawałkiem hiperboli: