Nietoperz jest w stanie wykryć owada lub inny obiekt...- Zadanie 10.8.2.: Zrozumieć fizykę 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$v = 340 \frac{m}{s}$

$f = 83 kHz = 83000 Hz$

$d = 45 mm$

$v_{n} = 8 \frac{m}{s}$

$v_{t} = 2 \frac{m}{s}$

$a)$

Szukane:

Czy polujący nietoperz może wykryć obecność ćmy?

Rozwiązanie:

Nietoperz będzie w stanie wykryć obecność ćmy jeżeli długość fali dźwiękowej wysyłanej przez niego będzie porównywalnej wielkości, jak wielkość ćmy.

DŁUGOŚĆ FALI

Długość fali akustycznej możemy przedstawić wzorem:

$λ = \frac{v}{f}$

gdzie:

$λ$ - długość fali,

$v$ - wartość prędkości, z jaką rozchodzi się fala,

$f$ - częstotliwość rozchodzącej się fali.

Obliczmy długość fali akustycznej wysyłanej przez nietoperza:

$λ = \frac{340 \frac{m}{s}}{83 000 Hz} = \frac{340 \frac{m}{s}}{83 000 \frac{1}{s}} \approx$

$\approx 0, 004 m = 4 mm$

Wiemy, że:

$4 mm < 45 mm$

Oznacza to, że:

$λ < d$

gdzie:

$λ$ - długość fali dźwiękowej wysyłanej przez nietoperza,

$d$ - rozpiętość skrzydeł ćmy.

Fala dźwiękowa o mniejszej długości fali odbije się od ćmy i wróci do nietoperza, dzięki czemu wykryje on obecność ćmy o wymiarze 45 mm.

Odpowiedź: Nietoperz może wykryć obecność ćmy.

$b)$

Szukane:

$f^{''} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie częstotliwości odebranej przez nietoperza poruszającego się w stronę ściany.

Nietoperz wydaje z siebie dźwięk o częstotliwości $f$ . Porusza się on w stronę ściany z prędkością $v_{n}$ . Dźwięk dociera do nieruchomej ściany. Ponieważ nietoperz porusza się to mamy do czynienia ze zmianą częstotliwości fali dźwiękowej wysyłanej przez nietoperza.

ZJAWISKO DOPPLERA

Zjawisko polegające na powstawaniu różnicy częstotliwości wysyłanej przez źródło oraz rejestrowanej przez obserwatora nazywamy efektem Dopplera. Wzór opisujący tę zależność ma postać:

$f = f_{0} \frac{v \pm v _{o}}{v \mp v _{\overset{z}{ˊ}}}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora,

$f_{0}$ - częstotliwość fali wysyłanej przez źródło,

$v$ - szybkość fali (w danym ośrodku),

$v_{o}$ - szybkość, z jaką zbliża (+) / oddala (-) się obserwator do źródła,

$v_{\overset{z}{ˊ}}$ - szybkość, z jaką zbliża (-) / oddala (+) się źródło do obserwatora.

Prędkości źródła i obserwatora są określane względem ośrodka. Górne znaki prędkości we wzorach oznaczają przypadek, gdy są one skierowane ku sobie, a dolne dotyczą sytuacji, w której mają odwrotne zwroty.

Nietoperz wysyła falę ultradźwiękową w stronę ściany, która odbija ją. Mamy wówczas ścianę jako nieruchomy odbiornik (obserwator) oraz nietoperza jako ruchome źródło dźwięku. Wówczas dla tego przypadku obserwator (ściana) ma zerową szybkość, a nietoperz porusza się w jej stronę (zbliża się do niej) z szybkością $v_{n}$ . Oznacza to, że częstotliwość dźwięku, jaki dociera do ściany ma postać:

$f^{'} = f \frac{v}{v - v _{n}}$

gdzie:

$f$ - częstotliwość dźwięku, jaki wysyła nietoperz,

$f^{'}$ - częstotliwość dźwięku, jaki dociera do ściany,

$v_{n}$ - szybkość nietoperza, który jest w tym przypadku źródłem dźwięku.

Następnie, gdy dźwięk zostaje odbity od ściany nadal ma częstotliwość, z jaką do niej dotarł, czyli $f^{'}$ . Odbity dźwięk zostaje odebrany przez nietoperza. Wówczas ściana staje się nieruchomym źródłem dźwięku, a nietoperz jest ruchomym odbiorcą. Wówczas z zależności wynikającej z efektu Dopplera częstotliwość dźwięku, jaką odbierze nietoperz będzie miała postać:

$f^{''} = f^{'} \frac{v + v _{n}}{v}$

gdzie:

$f^{''}$ - częstotliwość dźwięku, jaki wraca do nietoperza,

$f^{'}$ - częstotliwość dźwięku odbitego od ściany,

$v_{n}$ - szybkość nietoperza, który w tym przypadku jest odbiornikiem dźwięku.

Z powyższych zależności wynika, że ostatecznie częstotliwość dźwięku, jaki powróci do nietoperza będzie miał postać:

$f^{''} = f^{'} \frac{v + v _{n}}{v}$

$f^{''} = f \frac{v}{v - v _{n}} \cdot \frac{v + v _{n}}{v}$

$f^{''} = f \cdot \frac{v + v _{n}}{v - v _{n}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f^{''} = 83000 Hz \cdot \frac{340 \frac{m}{s} + 8 \frac{m}{s}}{340 \frac{m}{s} - 8 \frac{m}{s}} =$

$= 83000 Hz \cdot \frac{348 \frac{m}{s}}{332 \frac{m}{s}} \approx$

$\approx 83000 Hz \cdot 1, 048 =$

$= 86984 Hz \approx 87000 Hz =$

$= 87 kHz$

Odpowiedź: Fala odebrana przez nietoperza poruszającego się w stronę ściany ma częstotliwość równą około $87 kHz$ .

$c)$

Szukane:

$f^{''} = ?$

Rozwiązanie:

W tym przypadku mamy nietoperza, który porusza się w stronę ćmy, która również zbliża się do niego.

Nietoperz porusza się w stronę ćmy (zbliża się do niej) wysyłając dźwięk o częstotliwości $f$ . Ćma również porusza się w stronę nietoperza. Wówczas częstotliwość, jaka dociera do ćmy będzie wynosiła:

$f^{'} = f \frac{v + v _{t}}{v - v _{n}}$

gdzie:

$f^{'}$ - częstotliwość, jaką odbiera ćma,

$f$ - częstotliwość wysyłana przez nietoperza,

$v_{t}$ - szybkość ćmy, która w tym przypadku jest odbiornikiem dźwięku,

$v_{n}$ - szybkość nietoperza, który w tym przypadku jest źródłem dźwięku.

Dźwięk, który dotarł do ćmy został od niej odbity i wrócił do nietoperza. Wówczas ćma staje się ruchomym źródłem dźwięku, a nietoperz ruchomym odbiornikiem dźwięku. Częstotliwość dźwięku, którą odbierze nietoperz możemy zatem przedstawić zależnością:

$f^{''} = f^{'} \frac{v + v _{n}}{v - v _{t}}$

gdzie:

$f^{''}$ - częstotliwość dźwięku, który powróci do nietoperza,

$f^{'}$ - częstotliwość dźwięku, który odbił się od ćmy,

$v_{n}$ - szybkość nietoperza, który w tym przypadku jest odbiornikiem dźwięku,

$v_{t}$ - szybkość ćmy, która w tym przypadku jest źródłem dźwięku.

Oznacza to, że wartość częstotliwości odebranej przez nietoperza możemy przedstawić wzorem:

$f^{''} = f^{'} \frac{v + v _{n}}{v - v _{t}}$

$f^{''} = f \frac{v + v _{t}}{v - v _{n}} \cdot \frac{v + v _{n}}{v - v _{t}}$

$f^{''} = f \cdot \frac{( v + v _{t} ) ( v + v _{n} )}{( v - v _{n} ) ( v - v _{t} )}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f^{''} = 83000 Hz \cdot \frac{( 340 \frac{m}{s} + 2 \frac{m}{s} ) \cdot ( 340 \frac{m}{s} + 8 \frac{m}{s} )}{( 340 \frac{m}{s} - 8 \frac{m}{s} ) \cdot ( 340 \frac{m}{s} - 2 \frac{m}{s} )} =$