Dane:

$M=1\text{kg}$

$m=0,5\text{kg}$

$k=50\frac{\text{N}}{\text{m}}$

$F=6\text{N}$

$f=0,1$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$\mathbf{a})$

Szukane:

$a=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości przyspieszenia układu. Najpierw zacznijmy od przerysowania układu do zeszytu oraz zaznaczenia sił działających na klocki.

Zgodnie z treścią zadania na klocek o masie $M$ działa siła poziomo skierowana siła $\vec{F}$. Na każdy z klocków działa dodatkowo siła ciężkości ${\vec{F}}_{\text{c}}$, zatem na rysunku pomocniczym rysujemy wektory sił ciężkości:

• ${\vec{F}}_{\text{c}.m}$ - siła ciężkości działająca na klocek o masie $m$,
• ${\vec{F}}_{\text{c}.M}$ - siła ciężkości działająca na klocek o masie $M$.

Każdy z klocków działa na podłoże siłą nacisku ${\vec{F}}_{\text{N}}$, której wartość (w przypadku płaskiego podłoża) jest równa wartości siły ciężkości:

$F_{\text{N}}=F_{\text{c}}$

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki wiemy, że jeżeli klocek działa na podłoże, to podłoże oddziałuje na klocek z siłą o tej samej wartości, tym samym kierunku, ale przeciwnym zwrocie. Siłę tę nazywamy siłą reakcji podłoża ${\vec{F}}_{\text{R}}$. Zapiszemy:

$F_{\text{R}}=F_{\text{N}}$

Oznaczamy poszczególne siły na rysunku pomocniczym.

Klocki są połączone za pomocą sprężyny, która pod wpływem działania siły $\vec{F}$ na klocek o masie $M$ zacznie się wydłużać. Wówczas na klocek o masie $M$ zacznie działać siła sprężystości ${\vec{F}}_{\text{s}.M}$. Jednak sprężyna jest podczepiona drugim końcem do ciała o masie $m$, zatem pod wpływem rozciągania zacznie ciągnąć to ciało z siłą sprężystości ${\vec{F}}_{\text{s}.m}$. Zauważmy jednak, że siła ${\vec{F}}_{\text{s}.M}$ oraz siła ${\vec{F}}_{\text{s}.m}$ mają tę samą wartość, ponieważ wynikają z trzeciej zasady dynamiki. Zapiszemy więc:

$F_{\text{s}.m}=F_{\text{s}.M}$

Rysujemy poszczególne siły.

Zadaniem naszym jest wyznaczenie wartości przyspieszenia układu, zatem przyjmujemy, że cały układ porusza się zgodnie ze zwrotem siły $\vec{F}$ z przyspieszeniem $\vec{a}$.

II ZASADA DYNAMIKI Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem: $F_{\text{wyp.}}=ma$ gdzie: $F_{\text{wyp.}}$ - wartość siły wypadkowej, $m$ - masa ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza.

W naszym przypadku rozważamy układ z dwóch klocków o masach $m$ i $M$, zatem zapiszemy:

$\left(m+M\right)a=F_{\text{wyp.}}|:\left(m+M\right)$

$a=\frac{F_{\text{wyp.}}}{m+M}$

Zauważmy, że w kierunku pionowym wszystkie siły działające na klocki się równoważą, natomiast w kierunku poziomym nie wszystkie siły się równoważą, ponieważ cały układ porusza się z przyspieszeniem, zatem siła wypadkowa nie jest zerowa. Uwzględniając zwroty poszczególnych sił w kierunku pionowym, zapiszemy, że wzór na wartość siły wypadkowej przyjmuję postać:

$F_{\text{wyp.}}=F-F_{\text{s}.M}-T_M+F_{\text{s}.m}-T_{\text{m}}$

Wiemy, że:

$F_{\text{s}.m}=F_{\text{s}.M}$

Wówczas:

$F_{\text{wyp.}}=F-T_M-T_{\text{m}}$

Przejdźmy teraz do wyznaczenia wzorów na wartości siły tarcia.

WARTOŚĆ SIŁY TARCIA  Siła tarcia działa na ciało będące w ruchu, zwrócona jest przeciwnie do wektora prędkości, a jej wartość możemy wyrazić wzorem:  $T=f{F}_{\text{N}}$ gdzie: $T$ - wartość siły tarcia, $f$ - współczynnik tarcia, $F_{\text{N}}$ - wartość siły nacisku ciała na podłoże.

W naszym przypadku wiemy, że:

$F_{\text{N}}=F_{\text{c}}$

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_c=mg$  gdzie: $F_c$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wówczas zapiszemy:

$F_{\text{N}.m}=F_{\text{c}.m}$

$F_{\text{N}.m}=mg$

oraz:

$F_{\text{N}.M}=F_{\text{c}.M}$

$F_{\text{N}.M}=Mg$

Teraz 

▶ Wartość siły tarcia działająca na ciało o masie $m$

$T_m=f{F}_{\text{N}.m}$

$T_m=fmg$

▶ Wartość siły tarcia działająca na ciało o masie $M$

$T_M=f{F}_{\text{N}.M}$

$T_M=fMg$

Wracamy do wzoru na wartość przyspieszenia:

$a=\frac{F_{\text{wyp.}}}{m+M}$

Podstawiamy wzór na wartość siły wypadkowej:

$a=\frac{F-T_M-T_m}{m+M}$

Podstawiamy wzory na wartości sił tarcia:

$a=\frac{F-fMg-fmg}{m+M}$

$a=\frac{F-fg(m+M)}{m+M}$

$a=\frac{F}{m+M}-\frac{fg\cancel{\left(m+M\right)}}{\cancel{m+M}}$

$a=\frac{F}{m+M}-fg$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a=\frac{6\text{N}}{0,5\text{kg}+1\text{kg}}-0,1\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$

$=\frac{6}{1,5}\frac{\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{\cancel{\text{kg}}}-1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=$

$=4\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Odpowiedź: Wartość przyspieszenia układu wynosi $3\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$\mathbf{b})$

Szukane:

$x=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wydłużenia sprężyny.

WARTOŚĆ SIŁY SPRĘŻYSTOŚCI Wartość siły sprężystości działającej na ciało drgające możemy przedstawić wzorem: $F=kx$ gdzie:  $F$ - wartość siły sprężystości, $k$ - współczynnik sprężystości układu,  $x$ - wychylenie ciała z położenia równowagi.

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że wartości sił sprężystości, które działają na poszczególne ciała, są takie same:

$F_{\text{s}.m}=F_{\text{s}.M}$

Oznacza to, że możemy wyznaczyć siłę sprężystości działającą na jedno z tych ciał. Rozważmy więc siły działające na ciało o masie $M$. W poprzednim podpunkcie narysowaliśmy rysunek pomocniczy. Skupiamy się jedynie na siłach w kierunku poziomym, ponieważ to w tym kierunku działa siła sprężystości.

Z rysunku odczytujemy, że na ciało $M$ działają następujące siły w kierunku poziomym:

• $\vec{F}$ - siła ciągnącą ciało w prawo,
• ${\vec{F}}_{\text{s}.M}$ - siła sprężystości "spowalniająca ciało",
• $T_M$ - siła tarcia "spowalniająca ciało".

Wiemy, że cały układ porusza się z przyspieszeniem o wartości $a$, zatem jeżeli układ $m+M$ porusza się z przyspieszeniem o wartości $a$, to również ciało $M$ będzie poruszać się z przyspieszeniem o wartości $a$.

II ZASADA DYNAMIKI Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wiemy, że przyspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły wypadkowej działającej na to ciało. Wartość siły wypadkowej działającej na ciało możemy przedstawić wzorem: $F_{\text{wyp.}}=ma$ gdzie: $F_{\text{wyp.}}$ - wartość siły wypadkowej, $m$ - masa ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim układ się porusza.

W naszym przypadku rozważamy układ składający się z samego klocka o masie $M$. Wówczas, zapisując drugą zasadą dynamiki dla tego klocka, otrzymamy:

$Ma=F-F_{\text{s}.M}-T_M$

Przekształcamy powyższą zależność tak, aby otrzymać wzór na wartość siły sprężystości:

$Ma=F-F_{\text{s}.M}-T_M|+F_{\text{s}.M}$

$F_{\text{s}.M}+Ma=F-T_M|-Ma$

$F_{\text{s}.M}=F-T_M-Ma$

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$T_M=fMg$

Natomiast wzór na wartość siły sprężystości przyjmuję postać:

$F_{\text{s}.M}=kx$

Wówczas:

$F_{\text{s}.M}=F-T_M-Ma$

$kx=F-fMg-Ma$

Z poprzedniego podpunktu znamy również wzór na wartość przyspieszenia:

$a=\frac{F}{m+M}-fg$

Podstawiamy powyższy wzór do równania:

$kx=F-fMg-Ma$

$kx=F-fMg-M\left(\frac{F}{m+M}-fg\right)$

$kx=F-fMg-\frac{M}{m+M}F+fMg$

$kx=F-\frac{M}{m+M}F$

$kx=\left(1-\frac{M}{m+M}\right)F$

$kx=\left(\frac{m+M}{m+M}-\frac{M}{m+M}\right)F$

$kx=\left(\frac{m+M-M}{m+M}\right)F$

$kx=\frac{m}{m+M}F|:k$

$x=\frac{m}{m+M}\frac{F}{k}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{0,5\text{kg}}{0,5\text{kg}+1\text{kg}}\cdot \frac{6\text{N}}{50\frac{\text{N}}{\text{m}}}=$

$=\frac{0,5\cancel{\text{kg}}}{1,5\cancel{\text{kg}}}\cdot \frac{6}{50}\xcancel{\text{N}}\cdot \frac{\text{m}}{\xcancel{\text{N}}}=$

$=\frac{0,5\cdot 6}{1,5\cdot 50}\text{m}=\frac{3}{75}\text{m}=0,04\text{m}=4\text{cm}$

Odpowiedź: Sprężyna wydłużyła się o $0,04\text{m}$ (lub $4\text{cm}$).