Dysponujemy trzema sprężynami o współczynnikach sprężystości...- Zadanie 1: Fizyka 2. Zakres rozszerzony. Wydanie 2020

Rozwiązanie

Dane:

$k_{1} = 25 \frac{N}{m}$

$k_{2} = 100 \frac{N}{m}$

$k_{3} = 50 \frac{N}{m}$

$a)$

Uzasadnienie:

Sprężyny możemy połączyć na wiele sposobów.

Wprowadźmy pewne oznaczenia:

$F_{c}$ - wartość całkowitej siły działającej na odważnik zawieszony na podanym układzie sprężyn,

$F_{1}$ - wartość siły wynikającej z działania sprężyny 1,

$F_{2}$ - wartość siły wynikającej z działania sprężyny 2,

$F_{3}$ - wartość siły wynikającej z działania sprężyny 3.

Sposób 1: wszystkie sprężyny łączymy ze sobą równolegle.

Wówczas możemy zapisać:

$F_{c} = F_{1} + F_{2} + F_{3}$

Wartość siły sprężystości całego układu zapiszemy jako:

$F_{c} = k x$

gdzie:

$k$ - współczynnik sprężystości układu,

$x$ - wydłużenie układu.

Podobnie zapisujemy wzór na wartość siły sprężystości dla poszczególnych sprężyn, przy czym ze względu na to, że układ jest połączony, wydłużenie jest zawsze takie samo:

$F_{1} = k_{1} x$

gdzie:

$k_{1}$ - współczynnik sprężystości pierwszej sprężyny.

Dla drugiej sprężyny:

$F_{2} = k_{2} x$

$k_{2}$ - współczynnik sprężystości drugiej sprężyny.

Oraz:

$F_{3} = k_{3} x$

gdzie:

$k_{3}$ - współczynnik sprężystości trzeciej sprężyny.

Możemy więc zapisać:

$F_{c} = F_{1} + F_{2} + F_{3}$

$k x = k_{1} x + k_{2} x + k_{3} x ∣ : x$

$k = k_{1} + k_{2} + k_{3}$

$k = 25 \frac{N}{m} + 100 \frac{N}{m} + 50 \frac{N}{m} = 175 \frac{N}{m}$

Sposób 2: wszystkie sprężyny łączymy ze sobą szeregowo.

Wówczas każda sprężyna rozciągana jest przez tą samą siłę, ale każda rozciąga się o inną długość, w zależności od swojego współczynnika sprężystości. Łączne wydłużenie układu wynosi:

$x = x_{1} + x_{2} + x_{3}$

gdzie:

$x_{1}$ - wydłużenie pierwszej sprężyny,

$x_{2}$ - wydłużenie drugiej sprężyny,

$x_{3}$ - wydłużenie trzeciej sprężyny.

Wydłużenie układu możemy zapisać jako:

$x = \frac{F _{c}}{k}$

Wydłużenia poszczególnych sprężyn zapiszemy w analogiczny sposób:

$x_{1} = \frac{F _{c}}{k _{1}}$

Dla drugiej sprężyny:

$x_{2} = \frac{F _{c}}{k _{2}}$

Oraz:

$x_{3} = \frac{F _{c}}{k _{3}}$

Wówczas możemy zapisać:

$x = x_{1} + x_{2} + x_{3}$

$\frac{F _{c}}{k} = \frac{F _{c}}{k _{1}} + \frac{F _{c}}{k _{2}} + \frac{F _{c}}{k _{3}} ∣ : F_{c}$

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}} + \frac{1}{k _{3}}$

$\frac{1}{k} = \frac{k _{2} k _{3}}{k _{1} k _{2} k _{3}} + \frac{k _{1} k _{3}}{k _{1} k _{2} k _{3}} + \frac{k _{1} k _{2}}{k _{1} k _{2} k _{3}}$

$\frac{1}{k} = \frac{k _{2} k _{3} + k _{1} k _{3} + k _{1} k _{2}}{k _{1} k _{2} k _{3}}$

$k = \frac{k _{1} k _{2} k _{3}}{k _{2} k _{3} + k _{1} k _{3} + k _{1} k _{2}}$

$k = \frac{25 \frac{N}{m} \cdot 100 \frac{N}{m} \cdot 50 \frac{N}{m}}{100 \frac{N}{m} \cdot 50 \frac{N}{m} + 25 \frac{N}{m} \cdot 50 \frac{N}{m} + 25 \frac{N}{m} \cdot 100 \frac{N}{m}} =$

$= \frac{125 000 ( \frac{N}{m} ) ^{3}}{5000 ( \frac{N}{m} ) ^{2} + 1250 ( \frac{N}{m} ) ^{2} + 2500 ( \frac{N}{m} ) ^{2}} = \frac{125 000 ( \frac{N}{m} ) ^{3}}{8750 ( \frac{N}{m} ) ^{2}} =$

$= \frac{100}{7} \frac{N}{m} \approx 14, 3 \frac{N}{m}$

Sposób 3: dwie sprężyny łączymy szeregowo, a trzecią z nimi równolegle.

Zauważmy, że w tym przypadku możemy na kilka sposobów wykonać układ, ponieważ każda ze sprężyn ma inny współczynnik sprężystości.

Przypadek 1:

Zaczynamy od rozważenia wspólnego współczynnika sprężystości pochodzącego od sprężyn 1 i 2 połączonych szeregowo. Wydłużenie tych dwóch sprężyn będzie wynosić:

$x_{1, 2} = x_{1} + x_{2}$

gdzie:

$x_{1, 2}$ - łączne wydłużenie sprężyn połączonych szeregowo.

Wówczas możemy zapisać:

$\frac{F _{1, 2}}{k _{1, 2}} = \frac{F _{1, 2}}{k _{1}} + \frac{F _{1, 2}}{k _{2}}$

gdzie:

$F_{1, 2}$ - wartość siły powodującej wydłużenie sprężyn 1 i 2.

Zatem wypadkowy współczynnik sprężystości miałby postać:

$\frac{F _{1, 2}}{k _{1, 2}} = \frac{F _{1, 2}}{k _{1}} + \frac{F _{1, 2}}{k _{2}} ∣ : F_{1, 2}$

$\frac{1}{k _{1, 2}} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{2}}$

$\frac{1}{k _{1, 2}} = \frac{k _{2}}{k _{1} k _{2}} + \frac{k _{1}}{k _{1} k _{2}}$

$\frac{1}{k _{1, 2}} = \frac{k _{2} + k _{1}}{k _{1} k _{2}}$

$k_{1, 2} = \frac{k _{1} k _{2}}{k _{1} + k _{2}}$

Następnie rozważamy połączenie układu dwóch sprężyn z trzecią sprężyną dołączoną równolegle. Wówczas możemy zapisać:

$F_{c} = F_{1, 2} + F_{3}$

$k x = k_{1, 2} x + k_{3} x ∣ : x$

$k = k_{1, 2} + k_{3}$

$k = \frac{k _{1} k _{2}}{k _{1} + k _{2}} + k_{3}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$k = \frac{25 \frac{N}{m} \cdot 100 \frac{N}{m}}{25 \frac{N}{m} + 100 \frac{N}{m}} + 50 \frac{N}{m} = \frac{2500 ( \frac{N}{m} ) ^{2}}{125 \frac{N}{m}} + 50 \frac{N}{m} =$

$= 20 \frac{N}{m} + 50 \frac{N}{m} = 70 \frac{N}{m}$

Przypadek 2:

zauważmy, że wymienianie sprężyny 1 i 2 miejscami nie ma sensu ponieważ da nam taki sam wynik jak wcześniej. Zatem zamieniamy miejscem sprężynę 3 ze sprężyną 1 lub 2. Weźmy teraz sprężynę 2 w miejscu sprężyny 3:

W tym przypadku mamy:

$x_{1, 3} = x_{1} + x_{3}$

gdzie:

$x_{1, 3}$ - łączne wydłużenie sprężyn połączonych szeregowo.

Wówczas możemy zapisać:

$\frac{F _{1, 3}}{k _{1, 3}} = \frac{F _{1, 3}}{k _{1}} + \frac{F _{1, 3}}{k _{3}}$

gdzie:

$F_{1, 3}$ - wartość siły powodującej wydłużenie sprężyn 1 i 3.

Zatem wypadkowy współczynnik sprężystości ma postać:

$\frac{F _{1, 3}}{k _{1, 3}} = \frac{F _{1, 3}}{k _{1}} + \frac{F _{1, 3}}{k _{3}} ∣ : F_{1, 3}$

$\frac{1}{k _{1, 3}} = \frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{3}}$

$\frac{1}{k _{1, 3}} = \frac{k _{3}}{k _{1} k _{3}} + \frac{k _{1}}{k _{1} k _{3}}$

$\frac{1}{k _{1, 3}} = \frac{k _{3} + k _{1}}{k _{1} k _{3}}$

$k_{1, 3} = \frac{k _{1} k _{3}}{k _{1} + k _{3}}$

Następnie rozważamy połączenie układu dwóch sprężyn z trzecią sprężyną dołączoną równolegle. Wówczas zapisujemy:

$F_{c} = F_{1, 3} + F_{2}$

$k x = k_{1, 3} x + k_{2} x ∣ : x$

$k = k_{1, 3} + k_{2}$

$k = \frac{k _{1} k _{3}}{k _{1} + k _{3}} + k_{2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$k = \frac{25 \frac{N}{m} \cdot 50 \frac{N}{m}}{25 \frac{N}{m} + 50 \frac{N}{m}} + 100 \frac{N}{m} = \frac{1250 ( \frac{N}{m} ) ^{2}}{75 \frac{N}{m}} + 100 \frac{N}{m} =$

$= \frac{50}{3} \frac{N}{m} + 100 \frac{N}{m} \approx 16, 7 \frac{N}{m} + 100 \frac{N}{m} = 116, 7 \frac{N}{m}$

Przypadek 3:

W tym przypadku mamy:

$x_{2, 3} = x_{2} + x_{3}$

Zatem:

$k_{2, 3} = \frac{k _{2} k _{3}}{k _{2} + k _{3}}$

A to oznacza, że:

$F_{c} = F_{2, 3} + F_{1}$

$k = k_{2, 3} + k_{1}$

$k = \frac{k _{2} k _{3}}{k _{2} + k _{3}} + k_{1}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$k = \frac{100 \frac{N}{m} \cdot 50 \frac{N}{m}}{100 \frac{N}{m} + 50 \frac{N}{m}} + 25 \frac{N}{m} = \frac{5000 ( \frac{N}{m} ) ^{2}}{150 \frac{N}{m}} + 25 \frac{N}{m} =$

$= \frac{100}{3} \frac{N}{m} + 25 \frac{N}{m} \approx 33, 3 \frac{N}{m} + 25 \frac{N}{m} = 58, 3 \frac{N}{m}$

Odpowiedź:

Współczynnik sprężystości układu będzie:

minimalny - sposób 2: wszystkie sprężyny łączymy ze sobą szeregowo.
maksymalny - sposób 1: wszystkie sprężyny łączymy ze sobą równolegle.
równy 70 N/m - sposób 3, przypadek 1: pierwszą i drugą sprężynę łączymy szeregowo, a trzecią równolegle do nich.

$b)$

Uzasadnienie:

Wiemy jakie wydłużenie spowodowało użycie siły o znanej wartości, dlatego możemy obliczyć współczynnik sprężystości układu korzystając z wzoru:

$k = \frac{F _{1}}{x}$