Dane:

$m=3,5\text{kg}$

$\alpha =37^{\circ }$

$k=15\frac{\text{N}}{\text{m}}$

$f=0,6$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$x=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wydłużenia sprężyny. Najpierw zacznijmy od przerysowania układu do zeszytu oraz zaznaczeniu sił działających na klocek.

Na klocek działa siła ciężkości ${\vec{F}}_{\text{c}}$ zwrócona pionowo w dół. Siłę tą możemy rozłożyć na dwie składowe:

• ${\vec{F}}_{\perp }$ - składowa prostopadła do powierzchni pochylni,
• ${\vec{F}}_{\parallel }$ - składowa równoległa do powierzchni pochylni.

Nanosimy te siły na rysunek pomocniczy.

Klocek działa na pochylnie z siłą nacisku ${\vec{F}}_{\text{N}}$, której wartość jest równa wartości siły ${\vec{F}}_{\perp }$, czyli składowej siły ciężkości. Z drugiej strony, zgodnie z trzecią zasadą dynamiki, jeżeli klocek działa na pochylnie, to pochylnia działa na klocek z siłą o tej samej wartości, tym samym kierunku, ale przeciwnym zwrocie. Siłą tą jest siła reakcji podłoża ${\vec{F}}_{\text{R}}$. Zapiszemy więc:

$F_{\text{N}}=F_{\perp }$

$F_{\text{R}}=F_{\text{N}}$

Wówczas:

$F_{\text{R}}=F_{\perp }$

Zatem siły działające na klocek w kierunku prostopadłym do powierzchni pochylni się równoważą. Nanosimy siły na rysunek pomocniczy:

Klocek, pod wpływem siły ${\vec{F}}_{\parallel }$ zjeżdża z pochylni. Zgodnie z treścią zadania mamy przyjąć niezerowy współczynnik tarcia statycznego między klockiem a deską (pochylnią). Oznacza to, że będzie działać na klocek siła tarcia $\vec{T}$, która spowalnia jego ruch w dół. Wynika więc z tego, że zwrot siły tarcia jest w górę pochylni, czyli przeciwnie do kierunku poruszania się klocka. Nanosimy tę siłą na rysunek pomocniczy.

Wartość siły tarcia opisuje wzór:

$T=f{F}_{\text{N}}$

gdzie:

$T$ - wartość siły tarcia,

$f$ - współczynnika tarcia,

$F_{\text{N}}$ - wartość siły nacisku.

Z poprzedniego kroku wiemy, że:

$F_{\text{N}}=F_{\perp }$

Wówczas w naszym przypadku:

$T=f{F}_{\perp }$

Zauważmy, że do klocka został przymocowany koniec sprężyny. W trakcie zjeżdżania klocek będzie rozciągał sprężynę. W wyniku tego będzie na klocek działać dodatkowa siła — siła sprężystości ${\vec{F}}_s$, która ciągnie klocek w górę pochylni. Nanosimy tę siłą na rysunek pomocniczy.

Przyjmujemy, że przy pewnym wychyleniu $x$ sprężyny układ pozostanie w równowadze. Wówczas, siły działające na klocek w kierunku prostopadłym do powierzchni pochylni równoważą się — z wcześniejszych rozważań wiemy, że równoważenie się sił ${\vec{F}}_{\perp }$ i ${\vec{F}}_{\text{R}}$ wynika z trzeciej zasady dynamiki Newtona. Aby układ pozostał w równowadze, siły działające w kierunku równoległym do powierzchni pochylni również muszą się równoważyć. Uwzględniając zwroty sił działających na klocek, zapiszemy, że aby siły w kierunku równoległym się równoważyły, to musi być spełnione równanie:

$F_{\parallel }=T+F_s$

Teraz przejdziemy do omówienia wzorów na wartości poszczególnych sił.

▶ Siła ciężkości ${\vec{F}}_{\text{c}}$

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{\text{c}}=mg$

gdzie:

$F_{\text{c}}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa klocka, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego. 

▶ Składowe siły ciężkości ${\vec{F}}_{\text{c}}$, czyli siły ${\vec{F}}_{\perp }$ i ${\vec{F}}_{\parallel }$

Najpierw oznaczamy te same kąty na rysunku pomocniczym:

Korzystając z funkcji trygonometrycznych zapiszemy

$\frac{F_{\parallel }}{F_{\text{c}}}=\sin \alpha |\cdot F_{\text{c}}$

$F_{\parallel }=F_{\text{c}}\sin \alpha$

$F_{\parallel }=mg\sin \alpha$

oraz:

$\frac{F_{\perp }}{F_{\text{c}}}=\cos \alpha |\cdot F_{\text{c}}$

$F_{\perp }=F_{\text{c}}\cos \alpha$

$F_{\perp }=mg\cos \alpha$

▶ Siła tarcia $\vec{T}$

Wartość siły tarcia jest iloczynem współczynnika tarcia oraz wartości siły nacisku klocka na podłoże:

$T=f{F}_{\text{N}}$

Z poprzednich rozważań wiemy, że wartość siły nacisku jest równa wartości siły ${\vec{F}}_{\perp }$:

$F_{\text{N}}=F_{\perp }$

Wówczas:

$F_{\text{N}}=mg\cos \alpha$

Wracamy do wzoru na wartość siły tarcia i podstawiamy wzór na wartość siły nacisku:

$T=fmg\cos \alpha$

▶ Siła sprężystości ${\vec{F}}_{\text{s}}$

Wartość siły sprężystości jest iloczynem współczynnika sprężystości i wydłużenia sprężyny:

$F_{\text{s}}=kx$

gdzie:

$F_{\text{s}}$ - wartość siły sprężystości,

$k$ - współczynnik sprężystości sprężyny,

$x$ - wydłużenie sprężyny.

Wracamy do równania określającego równoważenie się sił:

$F_{\text{s}}+T=F_{\parallel }$

Podstawiamy wzory na poszczególne wartości sił:

$kx+fmg\cos \alpha =mg\sin \alpha |-fmg\cos \alpha$

$kx=mg\sin \alpha -fm\cos \alpha$

$kx=mg\left(\sin \alpha -f\cos \alpha \right)|:k$

$x=\frac{mg}{k}\left(\sin \alpha -f\cos \alpha \right)$

Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych lub korzystając z kalkulatora naukowego, odczytujemy:

$\sin 37^{\circ }=0,6018$

$\cos 37^{\circ }=0,7986$

Podstawiamy dane do wzoru:

$x=\frac{3,5\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{15\frac{\text{N}}{\text{m}}}\cdot \left(\sin 37^{\circ }-0,6\cdot \cos 37^{\circ }\right)=$

$=\frac{3,5\cdot 10}{15}\cdot \left(0,6018-0,6\cdot 0,7986\right)\frac{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}{\frac{\text{N}}{\text{m}}}=$

$=\frac{35}{15}\cdot \left(0,6018-0,47916\right)\underset{\text{N}}{\underbrace{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}}\cdot \frac{\text{m}}{\text{N}}=$

$\approx 2,33\cdot 0,12264\cancel{\text{N}}\cdot \frac{\text{m}}{\cancel{\text{N}}}\approx 0,286\text{m}$

Wiemy, że:

$1\text{m}=100\text{cm}$

Wówczas:

$x=0,286\cdot 1\text{m}=0,286\cdot 100\text{cm}=28,6\text{cm}$

Odpowiedź: Sprężyna wydłużyła się o około $28,6\text{cm}$.

 

$\mathbf{b})$

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest wyjaśnienie, dlaczego na początku sprawdzono, czy klocek zsuwa się przy kącie nachylenia pochylni równym $\alpha =37^{\circ }$.

Zauważmy, że klocek zjeżdża z pochylni, ponieważ działa na niego siła ${\vec{F}}_{\parallel }$ wynikająca z siły ciężkości ${\vec{F}}_{\text{c}}$. Siłami, które "zatrzymują" ruch klocka są:

• siła tarcia $\vec{T}$,
• siła sprężystości sprężyny ${\vec{F}}_{\text{s}}$.

Przyjmijmy, że zabieramy sprężynę. Wówczas, w kierunku równoległym do powierzchni pochylni, na klocek działają dwie siły:

• siła ${\vec{F}}_{\parallel }$ skierowana w dół pochylni,
• siła tarcia $\vec{T}$ skierowana w górę pochylni.

Interesuje nas sytuacja, w której klocek zjeżdża w dół, zatem mamy dwie możliwe sytuacje:

1. na klocek działa siła wypadkowa ${\vec{F}}_{\text{w}}$ w dół będąca złożeniem tych dwóch sił — klocek porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym w dół.
2. siły działające na klocek równoważą się — klocek porusza się ruchem jednostajnym.

W pierwszej sytuacji wartość siły ${\vec{F}}_{\parallel }$ musi być większa od wartości siły tarcia, natomiast w drugiej sytuacji wartości tych sił muszą być sobie równe. Jednak my chcemy, aby po podłączeniu klocka do sprężyny, sprężyna się wydłużyła, czyli klocek musi ciągnąć ją w dół pochylni. Zatem, aby mogło się to wydarzyć, to siła ${\vec{F}}_{\parallel }$ musi mieć wartość większą od siły tarcia:

$F_{\parallel }>T$

Podstawiamy wzory na poszczególne wartości sił, które wyznaczyliśmy w punkcie $a)$:

$mg\sin \alpha >fmg\cos \alpha |:mg$

$\sin \alpha >f\cos \alpha |:\cos \alpha$

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }>f$

$\mathrm{tg}\alpha >f$

Widzimy, że aby taka sytuacja mogła zajść, to tangens kąta nachylenia pochylni musi być większy od współczynnika tarcia statycznego między klockiem a podłożem pochylni. W naszym przypadku mamy:

$f=0,6$

Zatem:

$\mathrm{tg}\alpha >0,6$

Z tablic wartości trygonometrycznych odczytujemy:

$\alpha >31^{\circ }$

Nasz kąt $37^{\circ }$ z treści zadania spełnia tę nierówność.

 Odpowiedź: 

Sprawdzano, czy klocek zsuwa się z deski, aby zbadać, czy siła tarcia statycznego nie przeważy siły powodującej zsuwanie się klocka. W takim przypadku sprężyna nie ulegałaby wydłużeniu.