$\mathbf{a})$  

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest opisanie ruchu walca w każdym z przedziałów czasu. Mamy w zadaniu podany wykres zależności współrzędnej prędkości kątowej od czasu dla walca obracającego się wokół osi symetrii równoległej do osi $x$ układu współrzędnych. Rozważamy poszczególne etapy ruchu walca i odczytujemy z wykresu wielkości na nim podane. W chwili początkowej, czyli dla zerowego czasu ruchu walca mamy zerową współrzędną prędkości kątowej:

$t_0=0\text{s}$

${\omega }_0=0\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

Następnie rozważamy poszczególne etapy ruchu oznaczone na wykresie cyframi rzymskimi. W tym celu posłużymy się również definicją przyspieszenia kątowego.

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO Poprzez analogie do ruchu postępowego, przyspieszenie kątowe, zgodnie z definicją przyspieszenia, możemy przedstawić zależnością: $\vec{\epsilon }=\frac{\Delta \vec{\omega }}{\Delta t}$ gdzie: $\epsilon$ - przyspieszenie kątowego, $\Delta \omega$ - zmiana prędkości kątowej ciała,  $\Delta t$ - czas, w jakim ta zmiana następuje.

Interesuje nas współrzędna wektora przyspieszenia kątowego, zatem możemy zapisać, że zmianę współrzędnej prędkości kątowej ciała, opisuje wzór:

$\Delta \omega ={\omega }_k-{\omega }_p$

gdzie:

$\Delta \omega$ - zmiana współrzędnej prędkości kątowej ciała,

${\omega }_p$ - współrzędna prędkości kątowej ciała na początku ruchu,

${\omega }_k$ - współrzędna prędkości kątowej ciała na końcu ruchu.

Natomiast wzór na czas, w jakim zmiana współrzędnej prędkości kątowej nastepuje, przyjmuję postać:

$\Delta t=t_k-t_p$

gdzie:

$\Delta t$ - czas, w jakim zmiana szybkości kątowej następuje,

$t_p$ - chwila początkowa rozważanego ruchu,

$t_k$ - chwila końcowa rozważanego ruchu.

▶ Etap I: od $0\text{s}$ do $20\text{s}$. 

W tym przypadku mamy czas początkowy równy:

$t_0=0\text{s}$

Natomiast czas końcowy w tym ruchu wynosił:

$t_1=20\text{s}$

Współrzędna prędkości kątowej wzrasta liniowo w czasie. Z wykresu możemy odczytać, że dla początkowego czasu w tym etapie wynosiła:

${\omega }_0=0\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

Natomiast dla końcowego czasu współrzędna prędkości kątowej ma wartość:

${\omega }_1=6\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

Skoro szybkość kątowa rosła w tym ruchu liniowo, to oznacza, że ciało poruszało się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Wzór na zmianę szybkości kątowej będzie miał postać:

$\Delta {\omega }_1={\omega }_1-{\omega }_0$

Natomiast wzór na czas, w jakim ta zmiana zaszła:

$\Delta t_1=t_1-t_0$

Wówczas wzór na wartość przyspieszenia kątowego na tym etapie ruchu przyjmuję postać:

${\epsilon }_1=\frac{\Delta {\omega }_1}{\Delta t_1}$

${\epsilon }_1=\frac{{\omega }_1-{\omega }_0}{t_1-t_0}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\epsilon }_1=\frac{6\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}-0\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}{20\text{s}-0\text{s}}=\frac{6\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}{20\text{s}}=0,3\frac{\mathrm{rad}}{{\mathrm{s}}^2}$

▶ Etap II: od $20\text{s}$ do $40\text{s}$. 

Dla tego etapu początkowy czas ruchu wynosi: