Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzorów przedstawiających zależności $\alpha \left(t\right)$ oraz $\omega \left(t\right)$ we wszystkich ruchach obrotowych jednostajnie zmiennych, oraz przedstawienie tych zależności na wykresach. Zakładamy, że dla czasu $t_0=0$  mamy:

$\omega \left(t_0\right)=\omega \left(0\right)={\omega }_0$

Dodatkowo zgodnie z treścią zadania, skorzystamy z definicji przyspieszenia kątowego $\epsilon$ oraz interpretacji pola figury pod wykresem zależności szybkości kątowej od czasu $\omega \left(t\right)$. 

Rysujemy wykresy dla ruchu jednostajnie zmiennego, czyli z jego charakterystyki wynika, że mamy do czynienia ze stałym przyspieszeniem:

${\epsilon }_{\text{sˊr}}=\epsilon =\text{const.}$

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO Poprzez analogie do ruchu postępowego wartość przyspieszenia kątowego zgodnie z definicją przyspieszenia możemy przedstawić zależnością: $\epsilon =\frac{\Delta \omega }{\Delta t}$ gdzie: $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego, $\Delta \omega$ - zmiana szybkości kątowej ciała,  $\Delta t$ - czas, w jakim ta zmiana następuje.

Zmianę szybkości kątowej przedstawiamy, jako różnicę pomiędzy wartością prędkości kątowej końcowej, a prędkości kątowej początkowej:

$\Delta \omega ={\omega }_k-{\omega }_p$

gdzie:

$\Delta \omega$ - zmiana szybkości kątowej ciała,

${\omega }_k$ - szybkość kątowa ciała na końcu ruchu,

${\omega }_p$ - szybkość kątowa ciała na początku ruchu.

Przyjmujemy, że wartość prędkości kątowej jest zależna od czasu $\omega \left(t\right)$. Wówczas, wartość prędkości kątowej na końcu ruchu jest równa wartości prędkości kątowej w chwili $t$:

${\omega }_k=\omega \left(t\right)$

Natomiast wartość prędkości kątowej na początku, czyli w chwili zero ($t_0=0$) wynosi:

${\omega }_p=\omega \left(t_0\right)={\omega }_0$

Wówczas zmianę szybkości kątowej przedstawimy zależnością:

$\omega =\omega \left(t\right)-{\omega }_0$

Natomiast czas, w jakim zmiana wartości prędkości kątowej następuje, jest równa różnicy chwili końcowej i początkowej:

$\Delta t=t_k-t_p$

gdzie:

$\Delta t$ - czas, w jakim zmiana następuje,

$t_k$ - chwila końcowa,

$t_p$ - chwila początkowa.

Jednak my przyjęliśmy, że:

$t_k=t$

$t_p=t_0=0$

Wówczas:

$\Delta t=t-0$

$\Delta t=t$

Zatem czas, w jakim zmiana nastąpiła, odpowiada czasowi ruchu, jaki upłynął od kiedy ruch się rozpoczął. Teraz przejdziemy do wyznaczenia wzoru na wartość prędkości kątowej od czasu $\omega \left(t\right)$. Przyjęliśmy, że:

• przyspieszenie kątowe ma stałą wartość $\epsilon =\text{const.}$,
• w chwili początkowej ciało obraca się z prędkością kątową ${\omega }_0$,
• zmiana wartości prędkości kątowej jest dana wzorem: $\Delta \omega =\omega \left(t\right)-{\omega }_0$,
• czas, w jakim zmiana nastąpiła, jest równa czasowi, jaki upłynał od kiedy ruch się rozpoczął: $\Delta t=t$.

Wówczas:

$\frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\epsilon$

$\frac{\omega \left(t\right)-{\omega }_0}{t}=\epsilon |\cdot t$

$\omega \left(t\right)-{\omega }_0=\epsilon t|+{\omega }_0$

$\omega \left(t\right)={\omega }_0+\epsilon t$

Zauważmy, że otrzymana zależność jest funkcją liniową, ponieważ czas (argument funkcji) występuje w pierwszej potędze. Oznacza to, że wykres tej zależności również będzie funkcją liniową. Dziedzina tej funkcji to:

$t\in \left[0,+\infty \right)$

Natomiast przedział wartości funkcji zmienia się od:

$\omega \left(t\right)\in [{\omega }_0,+\infty )$

Wykonujemy przykładowy wykres dla tej zależności:

Zastanówmy się teraz nad polem pod wykresem. Wiemy, że w przypadku ruchu liniowego pole pod wykresem odpowiada drodze przebytej przez ciało tym ruchem. Analogicznie, w przypadku ruchu obrotowego pole pod wykresem zależności szybkości kątowej od czasu będzie mówiło nam o wielkości kąta zakreślanego w tym czasie przez ciało.

Zauważmy, że pole pod wykresem zależności szybkości kątowej od czasu ma kształt trapezu prostokątnego. Długości podstawy tego trapezu odpowiadają wielkościom ${\omega }_0$ oraz $\omega \left(t\right)$. Natomiast wysokość tego trapezu odpowiada wielkości $t$. Pole trapezu opisujemy wzorem:

$P=\frac{(a+b)}{2}h$

gdzie:

$P$ - pole trapezu,

$a,b$ - długości podstaw,

$h$ - wysokość trapezu.

Korzystając ze wzoru na pole trapezu, zapisujemy:

$\alpha \left(t\right)=\frac{\left({\omega }_0+\omega \left(t\right)\right)}{2}\cdot t$

Podstawiamy wzór na wartość prędkości kątowej w chwili $t$:

$\alpha \left(t\right)=\frac{\left({\omega }_0+{\omega }_0+\epsilon t\right)}{2}\cdot t$

$\alpha \left(t\right)=\frac{\left(2{\omega }_0+\epsilon t\right)\cdot t}{2}$

$\alpha \left(t\right)=\frac{2{\omega }_{0}t+\epsilon t^2}{2}$

$\alpha \left(t\right)=\frac{2{\omega }_{0}t}{2}+\frac{\epsilon t^2}{2}$

$\alpha \left(t\right)={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\epsilon t^2$

Odczytujemy, że zależność zakreślonego kąta od czasu jest funkcją kwadratową, zatem wykres zależności $\alpha \left(t\right)$ będzie parabolą.

FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ gdzie: $a,b,c$ - liczby rzeczywiste, przy czym $a\ne 0$.

Porównujemy zależność $\alpha \left(t\right)$ z ogólnym wzorem funkcji kwadratowej i zauważamy, że funkcja $\alpha \left(t\right)$ nie ma wyrazu wolnego $c$. Natomiast dwa inne współczynniki mają następującą postać:

$a=\frac{1}{2}\epsilon =\text{const}.$

$b={\omega }_0=\text{const}.$

Zauważmy również, że dla $t=0$ mamy:

$\alpha \left(0\right)={\omega }_0\cdot 0+\frac{1}{2}\epsilon \cdot 0^2$

$\alpha \left(0\right)=0$

Dziedzina funkcji kąta $\alpha \left(t\right)$ to:

$t=\left[0,+\infty \right)$

Natomiast wartości tej funkcji znajdują się w przedziale:

$\alpha \left(t\right)=\left[0,+\infty \right)$

Wykonajmy przykładowy wykres zależności funkcji kąta od czasu: