Dane:

$R_Z=6,37\cdot {10}^6\text{m}$  

$T=24\text{h}=24\cdot 3,6\cdot {10}^3\text{s}=86,4\cdot {10}^3\text{s}=8,64\cdot {10}^4\text{s}$  

$G{M}_Z=4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}$  

${\pi }^2=10$  

 

 $\mathbf{a})$

 Uzasadnienie: 

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości ilorazu $\frac{r^3}{T^2}$ dla satelitów Ziemi.

Musimy przedstawić ten iloraz za pomocą znanych wielkości. Iloraz ten wynika z faktu, że siła grawitacji odpowiada sile dośrodkowej w ruchu po okręgu:

$F_d=F_g$

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej,

$F_g$ - wartość siły grawitacji.

Wartość siły dośrodkowej możemy przedstawić wzorem:

$F_{\text{d}}=\frac{m{v}^2}{r}$

gdzie:

$m$ - masa ciała poruszającego się po okręgu, 

$v$ - wartość prędkości liniowej ciała poruszającego się po okręgu, 

$r$ - promień okręgu, po jakim porusza się to ciało. 

Szybkość liniową ciała w ruchu po okręgu przedstawiamy wzorem:

$v=\frac{2\pi r}{T}$  

gdzie:

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres obiegu.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy Ziemią a satelitą przedstawiamy wzorem:

$F_{\text{g}}=\frac{G{M}_{Z}m}{r^2}$

gdzie:

$G$  - stała grawitacji,

$M_Z$ - masa Ziemi,

$m$ - masa satelity.

Wówczas otrzymujemy zależność:

$F_d=F_g$  

$\frac{\cancel{m}{v}^2}{r}=\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{r^2}$  

$\frac{{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)}^2}{r}=\frac{G{M}_Z}{r^2}$  

$\frac{\frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}}{r}=\frac{G{M}_Z}{r^2}$  

$\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}=\frac{G{M}_Z}{r^2}\mid \cdot r^2$  

$\frac{4{\pi }^2{r}^3}{T^2}=G{M}_Z\mid :4{\pi }^2$  

$\frac{r^3}{T^2}=\frac{G{M}_Z}{4{\pi }^2}$  

Zatem: