$\mathbf{a})$

Dane:

$m=80\text{kg}$  

$a_u=3g$  

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Szukane:

$F_N=?$  

Rozwiązanie: 

Rakieta poruszała się z przyspieszeniem skierowanym pionowo i zwróconym w górę, czyli na manekina działała siłą bezwładności skierowana pionowo i zwrócona w dół, której wartość ma postać:

$F_b=m{a}_u$  

gdzie:

$F_b$ - wartość siły bezwładności,

$m$ - masa,

$a_u$ - wartość przyspieszenia.

Wstawiamy zależność podaną w treści zadania:

$F_b=3mg$  

gdzie:

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.  

Ponadto na manekina działa siła ciężkości skierowana pionowo i zwrócona w dół, której wartość ma postać:

$F_g=mg$  

gdzie:

$F_g$ - wartość siły ciężkości.

Zatem wartość siły nacisku manekina na fotel wynosi:

$F_N=F_b+F_g$  

gdzie:

$F_N$ - wartość siły nacisku manekina na fotel.

Wstawiamy podane powyżej zależności:

$F_N=3mg+mg$  

$F_N=4mg$  

Podstawiamy dane liczbowe do otrzymanego wzoru:

$F_N=4\cdot 80\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=3200\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=3200\text{N}$  

 

$\mathbf{b})$

Dane:

$h=3R_Z$  

$G{M}_Z=4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}$  

$R_Z=6,37\cdot {10}^6\text{m}$  

Szukane:

$v=?$  

Rozwiązanie:

Rakieta została wystrzelona pionowo w górę. W pewnym momencie uległa awarii, więc w zależności od tego, jaka jest wartość jej prędkości, rakieta może zostać przyciągnięta z powrotem na powierzchnię Ziemi lub wyrwać się z jej pola grawitacyjnego i oddalić do nieskończoności. 

• Rakieta powróci na Ziemię, jeśli jej szybkość jest mniejsza od wartości drugiej prędkości kosmicznej, na wysokości, którą osiągnęła:

$v=\sqrt{\frac{2G{M}_Z}{r}}$  

gdzie:

$v$ - szybkość rakiety,

$G$ - stała grawitacji,

$M_Z$ - masa Ziemi,

$r$ - odległość rakiety od środka Ziemi.

Odległość rakiety od środka Ziemi stanowi sumę promienia Ziemi i wysokości nad jej powierzchnią:

$r=R_Z+h$

gdzie:

$R_Z$ - promień Ziemi,

$h$ - wysokość rakiety nad powierzchnią.

Zatem:

$v=\sqrt{\frac{2G{M}_Z}{R_Z+h}}$  

Korzystamy z zależności podanej w treści zadania:

$v=\sqrt{\frac{2G{M}_Z}{R_Z+3R_Z}}$  

$v=\sqrt{\frac{2G{M}_Z}{4R_Z}}$  

$v=\sqrt{\frac{G{M}_Z}{2R_Z}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{\frac{4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}{2\cdot 6,37\cdot {10}^6\text{m}}}=\sqrt{\frac{4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}{12,74\cdot {10}^6\text{m}}}\approx$  

$\approx \sqrt{0,314\cdot {10}^8\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=\sqrt{7,85\cdot {10}^6\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx$  

$\approx 0,56\cdot {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 5,6\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

Co oznacza, że rakieta powróci na Ziemię, jeśli:

$v_{\text{rakiety}}<5,6\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

• Rakieta nie powróci na Ziemię, jeśli jej szybkość będzie równa co najmniej drugiej prędkości kosmicznej dla osiągniętej wysokości, czyli:

$v_{\text{rakiety}}\ge 5,6\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Jeśli rakieta powróciła na Ziemię, to w chwili awarii jej szybkość była mniejsza niż około 5,6 km/h, natomiast jeśli nie powróciła na Ziemię to prędkość ta wynosiła co najmniej 5,6 km/h.

 

$\mathbf{c})$

Rakieta w chwili awarii ma szybkość $v_1$ , czyli jej energia kinetyczna wynosi:

$E_{k.1}=\frac{m{v}_1^2}{2}$  

gdzie:

$E_{k.1}$ - energia kinetyczna rakiety w chwili awarii,

$m$ - masa rakiety,

$v_1$ - szybkość rakiety w chwili awarii.

Wówczas energia potencjalna rakiety wynosi:

$E_{p.1}=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+3R_Z}$   

gdzie:

$E_{p.1}$ - energia potencjalna rakiety w chwili awarii,

$G$ - stała grawitacji,

$M_Z$ - masa Ziemi,

$R_Z$ - promień Ziemi.

Na wysokości $h$  nad powierzchnią Ziemi, gdzie znajdują się górne warstwy atmosfery, energie kinetyczna i potencjalna rakiety będą miały postać:

$E_k=\frac{mv{{}^{\prime }}^2}{2}$  

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna rakiety w górnych warstwach atmosfery,

$v^{\prime }$ - szybkość rakiety w górnych warstwach atmosfery.

Oraz:

$E_p=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+h}$  

gdzie:

$E_p$ - energia potencjalna rakiety w górnych warstwach atmosfery,

$h$ - grubość atmosfery.

Korzystając z zasady zachowania energii wyznaczmy szybkość rakiety wchodzącej w górną warstwę atmosfery:

$E_k+E_p=E_{k.1}+E_{p.1}$  

$\frac{\cancel{m}v{{}^{\prime }}^2}{2}-\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{R_Z+h}=\frac{\cancel{m}{v}_1^2}{2}-\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{4R_Z}\mid \cdot 2$  

$v{{}^{\prime }}^2-\frac{2G{M}_Z}{R_Z+h}=v_1^2-\frac{G{M}_Z}{2R_Z}\mid +\frac{2G{M}_Z}{R_Z+h}$  

$v{{}^{\prime }}^2=v_1^2+\frac{2G{M}_Z}{R_Z+h}-\frac{G{M}_Z}{2R_Z}$  

$v{{}^{\prime }}^2=v_1^2+G{M}_Z\left[\frac{2}{R_Z+h}-\frac{1}{2R_Z}\right]\mid \sqrt{}$  

$v{}^{\prime }=\sqrt{v_1^2+G{M}_Z\left[\frac{2}{R_Z+h}-\frac{1}{2R_Z}\right]}$  

 

$\mathbf{d})$

Rakieta w chwili awarii ma szybkość $v_2$ , czyli jej energie kinetyczna i potencjalna mają postaci:

$E_{k.2}=\frac{m{v}_2^2}{2}$  

gdzie:

$E_{k.2}$ - energia kinetyczna rakiety w chwili awarii,

$m$ - masa rakiety,

$v_2$ - szybkość rakiety w chwili awarii.

Oraz:

$E_{p.2}=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+3R_Z}$   

gdzie:

$E_{p.2}$ - energia potencjalna rakiety w chwili awarii,

$G$ - stała grawitacji,

$M_Z$ - masa Ziemi,

$R_Z$ - promień Ziemi.

W bardzo dużej odległości od od Ziemi energia potencjalna ma zerową wartość:

$E_p=0$  

gdzie:

$E_p$ - energia potencjalna w bardzo dużej odległości od Ziemi.

Natomiast energia kinetyczna rakiety będzie miała wówczas postać:

$E_k=\frac{mv{{}^{\prime \prime }}^2}{2}$  

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna w bardzo dużej odległości od Ziemi,

$v^{\prime \prime }$ - szybkość rakiety w bardzo dużej odległości od Ziemi.

Korzystając z zasady zachowania energii wyznaczmy szybkość rakiety w bardzo dużej odległości od powierzchni Ziemi:

$E_k+E_p=E_{k.2}+E_{p.2}$  

$\frac{\cancel{m}v{{}^{\prime \prime }}^2}{2}+0=\frac{\cancel{m}{v}_2^2}{2}-\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{4R_Z}\mid \cdot 2$  

$v{{}^{\prime \prime }}^2=v_2^2-\frac{G{M}_Z}{2R_Z}\mid \sqrt{}$  

$v{}^{\prime \prime }=\sqrt{v_2^2-\frac{G{M}_Z}{2R_Z}}$