Dane:

$R_Z=6,37\cdot {10}^6\text{m}$  

Szukane: 

$h=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Ruch ciała możemy podzielić na dwie części:

• Moment nadania I prędkości kosmicznej,
• Moment osiągnięcia maksymalnej wysokości.

 

Moment nadania I prędkości kosmicznej

Na początku ruchu, czyli w momencie gdy ciało zostało wystrzelone z powierzchni Ziemi posiadało energię całkowitą równą sumie energii potencjalnej oraz energii kinetycznej:

$E_1=E_{k_1}+E_{p_1}$  

gdzie:

$E_1$  - początkowa energia całkowita ciała,

$E_{k_1}$  - początkowa energia kinetyczna ciała,

$E_{p_1}$  - początkowa energia potencjalna ciała.

Energię potencjalną ciała w centralnym polu grawitacyjnym przedstawiamy wzorem:

$E_p=-\frac{GMm}{r}$   

gdzie:

$G$  - stała grawitacyjna,

$M$  - masa ciała wytwarzającego centralne pole grawitacyjne, 

$m$  - masa ciała znajdującego się w centralnym polu grawitacyjnym, którego energię potencjalną rozważamy, 

$r$  - odległość ciała, którego energię potencjalną rozważamy od środka masy ciała wytwarzającego centralne pole grawitacyjne. 

Natomiast energia kinetyczna dana jest wzorem:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$m$  - masa ciała,

$v$  - wartość prędkości.

 

Energię potencjalną ciała na powierzchni Ziemi opisuje wzór:

$E_{p_1}=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}$  

gdzie:

$M_Z$ - masa Ziemi,

$R_Z$ - promień Ziemi.

Energię kinetyczną ciała w momencie wystrzelenia opisuje wzór:

$E_{k_1}=\frac{m{v}_I^2}{2}$  

gdzie:

$v_I$  - pierwsza prędkość kosmiczna.

Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość, jaką należałoby nadać ciału w kierunku poziomym, aby obiegało ciało niebieskie po orbicie kołowej w minimalnej odległości od jego powierzchni. Pierwszą prędkość kosmiczną przedstawiamy za pomocą wzoru:

$v_{\text{I}}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$  

gdzie:

$R$  - promień ciała niebieskiego.

W naszym przypadku wartość pierwszej prędkości kosmicznej opisuje wzór:

$v_I=\sqrt{\frac{G{M}_Z}{R_Z}}$  

 

Zatem wzór na energię całkowitą ciała na początku ruchu przyjmuję postać:

$E_1=E_{k_1}+E_{p_1}$  

$E_1=\frac{m{v}_I^2}{2}-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}$  

 

Moment osiągnięcia maksymalnej wysokości

Końcową energię całkowitą ciała zapiszemy jako:

$E_2=E_{k_2}+E_{p_2}$  

gdzie:

$E_2$  - końcowa energia całkowita ciała,

$E_{k_2}$  - końcowa energia kinetyczna ciała,

$E_{p_2}$  - końcowa energia potencjalna ciała.

W momencie osiągnięcia maksymalnej wysokości ciało nie porusza się, zatem jego energia kinetyczna wynosi:

$E_{k_2}=0$  

gdzie:

$E_{k_2}$ - energia kinetyczna ciała w najwyższym punkcie.

Natomiast energię potencjalną opisuje wzór:

$E_{p_2}=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+h}$  

gdzie:

$E_{p_2}$ - energia potencjalna ciała w najwyższym punkcie,

$h$  - maksymalna odległość od powierzchni Ziemi.

Zatem całkowitą energię ciała w drugim etapie ruchu opisuje wzór:

$E_2=E_{k_2}+E_{p_2}$  

$E_2=0-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+h}$  

$E_2=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+h}$  

 

Zgodnie z zasadą zachowania energii mamy:

$E_1=E_2$  

$E_{k_1}+E_{p_1}=E_{k_2}+E_{p_2}$  

$\frac{m{v}_I^2}{2}-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}=0-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+h}$  

$\frac{m{v}_I^2}{2}-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+h}$  

$\frac{m{\left(\sqrt{\frac{G{M}_Z}{R_Z}}\right)}^2}{2}-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+h}$  

$\frac{m\frac{G{M}_Z}{R_Z}}{2}-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+h}$  

$\frac{mG{M}_Z}{2R_Z}-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z}=-\frac{G{M}_{Z}m}{R_Z+h}\text{| : }G{M}_{Z}m$  

$\frac{1}{2R_Z}-\frac{1}{R_Z}=-\frac{1}{R_Z+h}\text{|}\cdot \left(-1\right)$  

$-\frac{1}{2R_Z}+\frac{1}{R_Z}=\frac{1}{R_Z+h}$  

$-\frac{1}{2R_Z}+\frac{2}{2R_Z}=\frac{1}{R_Z+h}$  

$\frac{-1+2}{2R_Z}=\frac{1}{R_Z+h}$  

$\frac{1}{2R_Z}=\frac{1}{R_Z+h}$  

Mnożymy na krzyż:

$R_Z+h=2R_Z\text{| -}{R}_Z$  

$h=R_Z$  

$h=6,37\cdot {10}^6\text{m}$  

Odpowiedź: Ciało wystrzelone pionowo w górę, z prędkością o wartości równej pierwszej prędkości kosmicznej, dotrze na wysokość równą promieniowi Ziemi, czyli 6,37 ∙ 10⁶ m, nad powierzchnię Ziemi.