Wypiszmy dane podane w zadaniu;

$n=10$  

$t=24,3\text{s}$  

$l=1,5\text{m}$  

 

$a)$  

Korzystamy z wzoru na okres drgań wahadła matematycznego, z którego wyznaczamy przyspieszenie ziemskie:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$  

Podnosimy do kwadratu:

$T^2=4{\pi }^2\frac{l}{g}\mid \cdot g$  

$T^2\cdot g=4{\pi }^{2}l\mid :T^2$  

$g=\frac{4{\pi }^{2}l}{T^2}$  

Wiemy, że okres drgań wahadła możemy przedstawić jako stosunek czasu trwania drgań do liczby wykonanych wahnięć:

$T=\frac{t}{n}$  

Otrzymujemy wówczas wzór na przyspieszenie ziemskie w postaci:

$g=\frac{4{\pi }^{2}l}{{\left(\frac{t}{n}\right)}^2}$  

$g=\frac{4{\pi }^{2}l}{\frac{t^2}{n^2}}$  

$g=\frac{4{\pi }^2{n}^{2}l}{t^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$g=\frac{4\cdot {3,14}^2\cdot {10}^2\cdot 1,5\text{m}}{{\left(24,3\text{s}\right)}^2}=\frac{4\cdot 9,8596\cdot 100\cdot 1,5\text{m}}{590,49{\text{s}}^2}=$  

$=\frac{5915,76\text{m}}{590,49{\text{s}}^2}\approx 10,0\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

 

 

$b)$  

Otrzymany wynik różni się od wartości tablicowej, ponieważ wykonane pomiary były niedokładne. Wpływ na niedokładność pomiarów może być na przykład:

• niedokładnie zmierzona długość wahadła
• niedokładnie zmierzony czas

 

$c)$  

W zadaniu podane mamy, że:

$\Delta t=0,4\text{s}$  

$\Delta l=5\text{mm}=0,005\text{m}$   

Mamy podane, że:

$g=4{\pi }^2{n}^2\frac{l}{t^2}$  

Możemy zatem zapisać, że:

$4{\pi }^2{n}^2=const$  

Oznaczmy naszą stała jako:

$\beta =4{\pi }^2{n}^2$  

$\beta =4\cdot {3,14}^2\cdot {10}^2=4\cdot 9,8596\cdot 100=3943,84$  

Otrzymujemy wówczas zależność:

$g=\beta \frac{l}{t^2}$  

Wyznaczamy teraz g_min i g_max:

$g_{\text{min}}=\beta \frac{l-\Delta l}{{\left(t+\Delta t\right)}^2}$  

$g_{\text{max}}=\beta \frac{l+\Delta l}{{\left(t-\Delta t\right)}^2}$  

Niepewność pomiarowa wynosi wówczas:

$\Delta g=\frac{g_{\text{max}}-g_{\text{min}}}{2}$  

$\Delta g=\frac{\beta \frac{l+\Delta l}{{\left(t-\Delta t\right)}^2}-\beta \frac{l-\Delta l}{{\left(t+\Delta t\right)}^2}}{2}$  

$\Delta g=\frac{\beta }{2}\left(\frac{l+\Delta l}{{\left(t-\Delta t\right)}^2}-\frac{l-\Delta l}{{\left(t+\Delta t\right)}^2}\right)$  

$\Delta g=\frac{3943,84}{2}\cdot \left(\frac{1,5\text{m}+0,005\text{m}}{{\left(24,3\text{s}-0,4\text{s}\right)}^2}-\frac{1,5\text{m}-0,005\text{m}}{{\left(24,3\text{s}+0,4\text{s}\right)}^2}\right)$  

$\Delta g=1971,92\cdot \left(\frac{1,505\text{m}}{{\left(23,9\text{s}\right)}^2}-\frac{1,495\text{m}}{{\left(24,7\text{s}\right)}^2}\right)$  

$\Delta g=1971,92\cdot \left(\frac{1,505\text{m}}{571,21{\text{s}}^2}-\frac{1,495\text{m}}{610,09{\text{s}}^2}\right)$  

$\Delta g\approx 1971,92\cdot \left(0,00263\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}-0,00245\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\right)$  

$\Delta g\approx 1971,92\cdot 0,00018\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

$\Delta g\approx 0,3549\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

$\Delta g\approx 0,35\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Obliczamy teraz błąd względny:

$\delta =\frac{\Delta g}{g}\cdot 100\%$  

$\delta \approx \frac{0,35\frac{m}{s^2}}{10,0\frac{m}{s^2}}\cdot 100\%=0,035\cdot 100\%=3,5\%$