W zadaniu podane mamy, że:

$n_1=20$  

$n_2=40$  

 

Wiemy, że ilość drgań możemy przedstawić jako stosunek czasu, w którym drga wahadło do okresu drgań:

$n=\frac{t}{T}$   

Wiemy również, że wzór na okres drgań ma postać:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$  

gdzie l jest długością wahadła. Oznacza to, że możemy zapisać wzór, z którego wyznaczymy zależność długości wahadła od ilości wykonanych drgań w danym czasie:

$n=\frac{t}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}}\mid \cdot \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right)$      

$n\left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right)=t\mid :n$  

$2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}=\frac{t}{n}$  

Podnosimy do kwadratu:

$4{\pi }^2\frac{l}{g}=\frac{t^2}{n^2}\mid \cdot g$  

$4{\pi }^{2}l=\frac{t^2\cdot g}{n^2}\mid :\left(4{\pi }^2\right)$  

$l=\frac{t^2\cdot g}{4{\pi }^2{n}^2}$    

Oznacza to, że dla naszego przypadku otrzymamy dwa wzoru w postaci:

$l_1=\frac{t_1^2\cdot g}{4{\pi }^2{n}_1^2}\text{oraz}{l}_2=\frac{t_2^2\cdot g}{4{\pi }^2{n}_2^2}$   

Wiemy, że oba wahadła drgają w tym samym czasie. Możemy zatem zapisać ich stosunek:

$\frac{l_1}{l_2}=\frac{\frac{t^2\cdot g}{4{\pi }^2{n}_1^2}}{\frac{t^2\cdot g}{4{\pi }^2{n}_2^2}}$  

$\frac{l_1}{l_2}=\frac{t^2\cdot g}{4{\pi }^2{n}_1^2}\cdot \frac{4{\pi }^2{n}_2^2}{t^2\cdot g}$  

$\frac{l_1}{l_2}=\frac{\sout{t^2\cdot g}}{\sout{4{\pi }^2}\cdot n_1^2}\cdot \frac{\sout{4{\pi }^2}\cdot n_2^2}{\sout{t^2\cdot g}}$  

$\frac{l_1}{l_2}=\frac{n_2^2}{n_1^2}$       

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\frac{l_1}{l_2}=\frac{{40}^2}{{20}^2}$   

$\frac{l_1}{l_2}=\frac{1600}{400}$

$\frac{l_1}{l_2}=4$