Dane:

$R=6400\text{km}=6,4\cdot {10}^3\text{km}=6,4\cdot {10}^6\text{m}$  

${\rho }_p=\frac{1}{1,6}{\rho }_Z$  

$G{M}_Z=4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}$  

 

$a)$  

Ciało spada swobodnie z wysokości równej połowie promienia tej planety:

$h=\frac{1}{2}R$  

Zatem na tej wysokości jego energia kinetyczna jest zerowa $E_{k.h}=0$ , a energia potencjalna ma wartość:

$E_{p.h}=-\frac{G{M}_{p}m}{R+h}$  

gdzie $G$  jest stałą grawitacji, $M_p$  jest masą tej planety, $m$  jest masą spadającego ciała. 

Z treści zadania wiemy, że gęstość tej planety jest 1,6 razy mniejsza od gęstości Ziemi. Ponieważ planeta ma taki sam promień, jak promień Ziemi to z proporcjonalności gęstości i masy, masa tej planety również będzie 1,6 razy mniejsza niż masa Ziemi:

$M_p=\frac{1}{1,6}{M}_Z$  

Wówczas:

$E_{p.h}=-\frac{G{M}_{p}m}{R+h}$  

$E_{p.h}=-\frac{G\cdot \frac{1}{1,6}{M}_{Z}m}{R+\frac{1}{2}R}$  

$E_{p.h}=-\frac{\frac{1}{1,6}G{M}_{Z}m}{\frac{3}{2}R}$  

$E_{p.h}=-\frac{2G{M}_{Z}m}{1,6\cdot 3R}$  

$E_{p.h}=-\frac{2G{M}_{Z}m}{4,8R}$  

$E_{p.h}=-\frac{20}{48}\frac{G{M}_{Z}m}{R}$  

$E_{p.h}=-\frac{5}{12}\frac{G{M}_{Z}m}{R}$  

Na powierzchni Ziemi energia potencjalna tego ciała ma postać:

$E_{p.0}=-\frac{G{M}_{p}m}{R}$  

$E_{p.0}=-\frac{G\frac{1}{1,6}{M}_{Z}m}{R}$  

$E_{p.0}=-\frac{10}{16}\frac{G{M}_{Z}m}{R}$  

$E_{p.0}=-\frac{5}{8}\frac{G{M}_{Z}m}{R}$  

Energię kinetyczną tego ciała na powierzchni planety przedstawimy wzorem:

$E_{k.0}=\frac{m{v}^2}{2}$  

Korzystając z zasady zachowania energii wyznaczamy szybkość, z jaką ciało uderzyło w planetę:

$E_{k.0}+E_{p.0}=E_{k.h}+E_{p.h}$  

$\frac{\cancel{m}{v}^2}{2}-\frac{5}{8}\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{R}=0-\frac{5}{12}\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{R}\mid \cdot 2$  

$v^2-\frac{5}{4}\frac{G{M}_Z}{R}=-\frac{5}{6}\frac{G{M}_Z}{R}\mid +\frac{5}{4}\frac{G{M}_Z}{R}$  

$v^2=-\frac{5}{6}\frac{G{M}_Z}{R}+\frac{5}{4}\frac{G{M}_Z}{R}$  

$v^2=-\frac{10}{12}\frac{G{M}_Z}{R}+\frac{15}{12}\frac{G{M}_Z}{R}$  

$v^2=\frac{5}{12}\frac{G{M}_Z}{R}\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{\frac{5}{12}\frac{G{M}_Z}{R}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{\frac{5}{12}\cdot \frac{4\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}{6,4\cdot {10}^6\text{m}}}=\sqrt{\frac{20\cdot {10}^{14}\frac{{\text{m}}^3}{{\text{s}}^2}}{76,8\cdot {10}^6\text{m}}}\approx$  

$\approx \sqrt{0,26\cdot {10}^8\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 0,51\cdot {10}^4\frac{\text{m}}{\text{s}}=5,1\cdot {10}^3\frac{\text{m}}{\text{s}}=5,1\frac{\text{km}}{\text{s}}$  

 

$b)$  

Na powierzchni Ziemi energia potencjalna tego ciała ma postać:

$E_{p.0}=-\frac{5}{8}\frac{G{M}_{Z}m}{R}$  

Ciało wyrzucamy z powierzchni planety z z szybkością równą połowie pierwszej prędkości kosmicznej dla tej planety:

$v=\frac{1}{2}{v}_I$  

$v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{G{M}_p}{R}}$  

$v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{G\cdot \frac{1}{1,6}{M}_Z}{R}}$  

$v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{10}{16}\frac{G{M}_Z}{R}}$  

$v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{8}\frac{G{M}_Z}{R}}$  

Zatem energię kinetyczną tego ciała na powierzchni planety przedstawimy wzorem:

$E_{k.0}=\frac{m{v}^2}{2}$  

$E_{k.0}=\frac{m{\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{8}\frac{G{M}_Z}{R}}\right)}^2}{2}$  

$E_{k.0}=(m\frac{\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{8}\frac{G{M}_Z}{R}}{2}$  

$E_{k.0}=\frac{\frac{5}{32}\frac{G{M}_{Z}m}{R}}{2}$  

$E_{k.0}=\frac{5}{64}\frac{G{M}_{Z}m}{R}$  

Ciało wznosi się na pewną maksymalną wysokość $h$ . Wówczas na tej wysokości jego energia kinetyczna jest zerowa $E_{k.h}=0$ , a energia potencjalna ma wartość:

$E_{p.h}=-\frac{G{M}_{p}m}{R+h}$  

$E_{p.h}=-\frac{G\cdot \frac{1}{1,6}{M}_{Z}m}{R+h}$  

$E_{p.h}=-\frac{5}{8}\frac{G{M}_{Z}m}{R+h}$  

Korzystając z zasady zachowania energii wyznaczmy wysokość, na jaką wzniosło się ciało:

$E_{k.0}+E_{p.0}=E_{k.h}+E_{p.h}$  

$\frac{5}{64}\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{R}-\frac{5}{8}\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{R}=0-\frac{5}{8}\frac{G{M}_Z\cancel{m}}{R+h}\mid \cdot 64$  

$5\frac{G{M}_Z}{R}-40\frac{G{M}_Z}{R}=-40\frac{G{M}_Z}{R+h}$  

$-35\frac{\cancel{G{M}_Z}}{R}=-40\frac{\cancel{G{M}_Z}}{R+h}\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\frac{35}{R}=\frac{40}{R+h}$  

$35\left(R+h\right)=40R$  

$35R+35h=40R\mid -35R$  

$35h=5R\mid :35$  

$h=\frac{1}{7}R$  

$h=\frac{1}{7}\cdot 6400\text{km}$  

$h\approx 914\text{km}$