Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$\alpha ={30}^{\circ }$  

$h=40cm=0,4m$  

$d=8cm\Rightarrow R=\frac{d}{2}\text{, czyli }R=4cm=0,04m$  

Przyjmujemy, że:

$g=10\frac{m}{s^2}$  

Energię kinetyczną dla ruchu postępowego przedstawiamy wzorem:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie $E_k$  jest energią kinetyczna ciała o masie $m$  poruszającego się z prędkością $v$ . Prędkość liniową możemy wyrazić za pomocą prędkości kątowej:

$v=\omega \cdot R$  

gdzie $v$  jest prędkością liniową, $\omega$  jest szybkością kątową, $R$  jest promieniem. Wówczas energia kinetyczna ruchu postępowego będzie miała postać:

$E_k=\frac{m{\left(\omega R\right)}^2}{2}$  

$E_k=\frac{m{\omega }^2{R}^2}{2}$  

Oprócz energii kinetycznej ruchu postępowego bryła będzie posiadała również energię kinetyczną ruchu obrotowego. Energię kinetyczną ruchu obrotowego przedstawiamy wzorem:

$E_{k.o}=\frac{J{\omega }^2}{2}$  

gdzie  $\omega$  jest szybkością kątową, $R$  jest promieniem. Energię potencjalną przedstawiamy wzorem:

$E_p=mgh$  

gdzie $E_p$  jest energią potencjalną ciała o masie $m$  znajdującego się na wysokości $h$ . Z zasady zachowania energii otrzymujemy, że:

$E_k+E_{k.o}=E_p$  

$\frac{m{\omega }^2{R}^2}{2}+\frac{J{\omega }^2}{2}=mgh$  

$\frac{{\omega }^2}{2}\left(m{R}^2+J\right)=mgh\mid \cdot 2$  

${\omega }^2\left(m{R}^2+J\right)=2mgh\mid :\left(m{R}^2+J\right)$  

${\omega }^2=\frac{2mgh}{m{R}^2+J}$  

Wiemy, że szybkość kątową możemy opisać wzorem:

$\omega =2\pi f$  

gdzie f jest częstotliwością. Wówczas:

${\left(2\pi f\right)}^2=\frac{2mgh}{m{R}^2+J}$  

$4{\pi }^2{f}^2=\frac{2mgh}{m{R}^2+J}\mid :4{\pi }^2$  

$f^2=\frac{2mgh}{4{\pi }^2\left(m{R}^2+J\right)}$  

Momenty bezwładności dla poszczególnych brył odczytujemy z tablic:

rurka cienkościenna:  $J_r=m{R}^2$  

walec:  $J_w=\frac{1}{2}m{R}^2$  

kula:  $J_k=\frac{2}{5}m{R}^2$  

Wówczas częstotliwości dla poszczególnych brył opiszemy wzorami:

dla rurki cienkościennej:

$f_r^2=\frac{2mgh}{4{\pi }^2\left(m{R}^2+J_r\right)}$  

$f_r^2=\frac{2mgh}{4{\pi }^2\left(m{R}^2+m{R}^2\right)}$  

$f_r^2=\frac{\cancel{2m}gh}{4{\pi }^2\cdot \cancel{2m}{R}^2}$  

$f_r^2=\frac{gh}{4{\pi }^2{R}^2}\mid \sqrt{}$  

$f_r=\frac{\sqrt{gh}}{2\pi R}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f_r=\frac{\sqrt{10\frac{m}{s^2}\cdot 0,4m}}{2\cdot 3,14\cdot 0,04m}=\frac{\sqrt{4\frac{m^2}{s^2}}}{0,2512m}=$  

$=\frac{2\frac{m}{s}}{0,2512m}\approx 7,96\frac{1}{s}\approx 8,0Hz$   

dla walca:

$f_w^2=\frac{2mgh}{4{\pi }^2\left(m{R}^2+J_w\right)}$  

$f_w^2=\frac{2mgh}{4{\pi }^2\left(m{R}^2+\frac{1}{2}m{R}^2\right)}$  

$f_w^2=\frac{2\cancel{m}gh}{\stackrel{2}{\sout{4}}{\pi }^2\cdot \frac{3}{\underset{1}{\sout{2}}}\cancel{m}{R}^2}$  

$f_w^2=\frac{\cancel{2}gh}{\cancel{2}\cdot 3{\pi }^2{R}^2}$  

$f_w^2=\frac{gh}{3{\pi }^2{R}^2}\mid \sqrt{}$  

$f_w=\frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{3}\pi R}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f_w=\frac{\sqrt{10\frac{m}{s^2}\cdot 0,4m}}{\sqrt{3}\cdot 3,14\cdot 0,04m}\approx \frac{\sqrt{4\frac{m^2}{s^2}}}{1,73\cdot 3,14\cdot 0,04m}=$  

$=\frac{2\frac{m}{s}}{0,217288m}\approx 9,204\frac{1}{s}\approx 9,2Hz$   

dla kuli:

$f_k^2=\frac{2mgh}{4{\pi }^2\left(m{R}^2+J_k\right)}$  

$f_k^2=\frac{2mgh}{4{\pi }^2\left(m{R}^2+\frac{2}{5}m{R}^2\right)}$  

$f_k^2=\frac{\stackrel{1}{\sout{2}}\cancel{m}gh}{\underset{2}{\sout{4}}{\pi }^2\cdot \frac{7}{5}\cancel{m}{R}^2}$  

$f_k^2=\frac{gh}{\frac{14}{5}{\pi }^2{R}^2}$  

$f_k^2=\frac{gh}{2,8{\pi }^2{R}^2}\mid \sqrt{}$  

$f_k=\frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{2,8}\pi R}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$f_k=\frac{\sqrt{10\frac{m}{s^2}\cdot 0,4m}}{\sqrt{3}\cdot 3,14\cdot 0,04m}\approx \frac{\sqrt{4\frac{m^2}{s^2}}}{1,67\cdot 3,14\cdot 0,04m}=$  

$=\frac{2\frac{m}{s}}{0,209752m}\approx 9,535\frac{1}{s}\approx 9,5Hz$