Dane:

$m=0,06\text{kg}$

$r=6\text{cm}=0,06\text{m}$

$M_T=0,03\text{N}\cdot \text{m}$

$\epsilon =8\frac{\text{rad}}{{\text{s}}^2}$

Szukane:

$\Delta F_n=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie różnicy wartości sił naciągu nici z obu stron krążka, przy założeniu, że na krążek działa siła tarcia. 

Rozważamy tylko i wyłącznie bloczek. Przypadek ma być podobny do tego z zadania 4.8, czyli wartość siły naciągu nici działającej na drugą masę jest większa od wartości siły naciągu nici działającej na pierwszą masę:

$F_{n.1}<F_{n.2}$

gdzie:

$F_{n.1}$ - wartość siły naciągu nici działającej na pierwszą masę, 

$F_{n.2}$ - wartość siły naciągu nici działającej na drugą masę. 

Bloczek będzie obracał się wówczas zgodnie ze zwrotem siły naciągu nici działającej na drugą masę. Siła tarcia w układzie będzie przeciwstawiała się temu ruchowi, czyli moment siły pochodzący od siły tarcia będzie przeciwny do momenty siły pochodzącego od siły naciągu nici działającej na drugą masę, a zgodny z momentem siły działającym na pierwszą masę. Zatem wypadkowy moment siły działającej na krążek wynosi:

$M=M_{n.2}-M_{n.1}-M_T$

gdzie:

$M$ - wartość wypadkowego momentu siły, 

$M_{n.1}$ - wartość momentu siły naciągu nici działającej na pierwszą masę,

$M_{n.2}$ - wartość momentu siły naciągu nici działającej na drugą masę, 

$M_T$ - wartość momentu siły tarcia. 

Nie mamy opisanego w zadaniu, gdzie dokładnie przyłożono siłę tarcia, ale znamy wartość momentu siły pochodzącego od niej. 

Momenty siły pochodzące od siły naciągu nici będą miały wartości (dokładniej opisane jest to w zadaniu 4.8.):

$M_{n.1}=r{F}_{n.1}$

$M_{n.2}=r{F}_{n.2}$

gdzie:

$r$ - promień krążka. 

Korzystając z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy, że wartość wypadkowego momentu siły działającej na krążek ma postać:

$M=I\epsilon$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności krążka, 

$\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego krążka. 

Krążek jest walcem. Moment bezwładności jednorodnego walca obracającego się względem swojej osi symetrii ma postać:

$I=\frac{1}{2}m{r}^2$

gdzie:

$I$ - moment bezwładności walca,

$m$ - masa walca, 

$r$ - promień walca. 

Korzystając z powyższych wzorów otrzymamy, że różnica siły naciągu ma postać:

$M_{n.2}-M_{n.1}-M_T=M$

$r{F}_{n.2}-r{F}_{n.1}-M_T=I\epsilon |+M_T$

$r\left(F_{n.2}-F_{n.1}\right)=\frac{1}{2}m{r}^2\epsilon +M_T|:r$

$F_{n.2}-F_{n.1}=\frac{1}{2}mr\epsilon +\frac{M_T}{r}$

Niech różnica tych sił wynosi:

$\Delta F_n=F_{n.2}-F_{n.1}$

Wówczas:

$\Delta F_n=\frac{1}{2}mr\epsilon +\frac{M_T}{r}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta F_N=\frac{1}{2}\cdot 0,06kg\cdot 0,06m\cdot 8\frac{\text{rad}}{s^2}+\frac{0,03N\cdot m}{0,06m}=$

$=0,0144kg\cdot \frac{m}{s^2}+0,5N=0,0144N+0,5N=$

$=0,5144N\approx 0,5N$

Odpowiedź: Wartość różnicy siły naciągu wynosi około 0,5 N.