Oblicz, ile ciepła odda para wodna o masie 0,5 kg i temperaturze...- Zadanie Zadanie 39.2: Fizyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$m = 0, 5 kg$

$t_{1} = 12 0^{\circ} C$ , czyli $T_{1} = 393 K$

$t_{2} = - 2 5^{\circ} C$ , czyli $T_{2} = 248 K$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ temperatura topnienia lodu: $t_{t} = 0^{\circ} C$ , czyli $T_{t} = 273 K$ ,

▶ temperatura wrzenia wody: $t_{w} = 100^{\circ} C$ , czyli $T_{w} = 373 K$ ,

▶ ciepło właściwe pary wodnej: $c_{p} = 2000 \frac{J}{kg \cdot K}$ ,

▶ ciepło właściwe wody: $c_{w} = 4190 \frac{J}{kg \cdot K}$ ,

▶ ciepło właściwe lodu: $c_{l} = 2100 \frac{J}{kg \cdot K}$ ,

▶ ciepło parowania wody: $R = 2, 26 \cdot 1 0^{6} \frac{J}{kg}$ ,

▶ ciepło topnienia lodu: $L = 3, 34 \cdot 1 0^{5} \frac{J}{kg}$ .

Szukane:

$Q = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie ciepła oddanego przez parę wodną oraz przedstawienie kolejnych procesów zachodzących w czasie tej przemiany na wykresie zależności temperatury od ciepła oddanego.

Na początku mamy parę wodną o podanej temperaturze. Para wodna ochładza się do temperatury skraplania, która odpowiada temperaturze wrzenia wody. Wówczas oddaje ona ciepło, które przeznaczone jest na zmianę stanu skupienia z pary wodnej na wodę. Woda otrzymana z pary wodnej początkowo będzie miała temperaturę wrzenia. Będzie ona jednak oddawać ciepło ochładzając się, aż do temperatury krzepnięcia, która będzie odpowiadała temperaturze topnienia lodu. W kolejnym kroku ciepło oddawane jest na zmianę stanu skupienia z wody na lód. Na końcu lód ochładzany jest jeszcze do końcowej temperatury, którą chcemy otrzymać.

Z powyższego wynika, że ciepło będzie oddawane przez parę wodną, aż do otrzymania lodu w pięciu etapach. Zauważmy, że temperatura w tych procesach będzie zmniejszała się. Nas interesuje zmiana temperatury, czyli jej bezwzględną zmianę przedstawimy jako różnicę pomiędzy początkową, a końcową wartością temperatury.

▶ Etap 1: Obniżenie temperatury pary wodnej do temperatury skraplania.

Bezwzględna zmiana temperatury pary wodnej będzie wówczas wynosiła:

$Δ T_{1} = T_{1} - T_{w}$

gdzie:

$Δ T_{1}$ - zmiana temperatury pary wodnej na pierwszy etapie,

$T_{1}$ - początkowa temperatura pary wodnej,

$T_{w}$ - końcowa temperatura pary wodnej (odpowiada temperaturze skraplania i wrzenia).

Zatem ciepło oddane w tym procesie możemy przedstawić wzorem:

$Q_{1} = m c_{p} Δ T_{1}$

gdzie:

$Q_{1}$ - ciepło oddane na pierwszy etapie, przy obniżaniu temperatury pary wodnej,

$m$ - masa pary wodnej,

$c_{p}$ - ciepło właściwe pary wodnej,

$Δ T_{1}$ - bezwzględna zmiana temperatury pary wodnej.

Z powyższego wynika, że:

$Q_{1} = m c_{p} (T_{1} - T_{w})$

Ponieważ chcemy wykonać wykres zależności temperatury od oddanego ciepła to potrzebujemy wartości liczbowej, dlatego podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{1} = 0, 5 kg \cdot 2000 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot (393 K - 373 K) =$

$= 0, 5 kg \cdot 2000 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 20 K =$

$= 20000 J = 20 kJ$

Część wykresu odpowiadająca pierwszemu etapowi będzie miała postać:

▶ Etap 2: Zmiana stanu skupienia z gazowego (para wodna) na ciekły (woda).

Ciepło przemiany fazowej przy przejściu z stanu gazowego na ciekły możemy przedstawić wzorem:

$Q_{2} = m R$

gdzie:

$Q_{2}$ - ciepło oddane w czasie zmiany stanu skupienia z pary wodnej w wodę,

$m$ - masa skraplanej pary wodnej,

$R$ - ciepło skraplania (odpowiada ciepłu parowania).

Obliczmy ile ciepła zostało oddane w tym procesie:

$Q_{2} = 0, 5 kg \cdot 2, 26 \cdot 1 0^{6} \frac{J}{kg} = 1, 13 \cdot 1 0^{6} J =$

$= 1130 \cdot 1 0^{3} J = 1130 kJ$

Przydatną informacją będzie dla nas również, ile ciepła oddała para wodna do końca drugiego etapu, czyli będzie to suma ciepła oddanego w pierwszym i drugim etapie:

$Δ Q_{2} = Q_{1} + Q_{2}$

gdzie:

$Δ Q_{2}$ - ciepło oddane przez parę wodną od początku procesu do końca drugiego etapu.

Wynosi ono wówczas:

$Δ Q_{2} = 20 kJ + 1130 kJ = 1150 kJ$

Dalsza część wykresu będzie miała wówczas postać:

▶ Etap 3: Obniżenie temperatury wody do temperatury krzepnięcia.

Bezwzględna zmiana temperatury wody będzie miała postać:

$Δ T_{3} = T_{w} - T_{t}$

gdzie:

$Δ T_{3}$ - zmiana temperatury wody w tym procesie,

$T_{w}$ - temperatura, jaką będzie posiadała woda po skropleniu (odpowiada temperaturze skraplania),

$T_{t}$ - temperatura wody zaraz przed procesem krzepnięcia (odpowiada temperaturze topnienia).

Ciepło oddane w tym procesie będzie wynosiło:

$Q_{3} = m c_{w} Δ T_{3}$

gdzie:

$Q_{3}$ - ciepło oddane przez wodę w czasie ochładzania jej do temperatury krzepnięcia,

$m$ - masa ochładzanej wody (odpowiada masie skraplanej pary wodnej),

$c_{w}$ - ciepło właściwe wody.

W takim wypadku otrzymamy:

$Q_{3} = m c_{w} (T_{w} - T_{t})$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{3} = 0, 5 kg \cdot 4190 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot (373 K - 273 K) =$

$= 0, 5 kg \cdot 4190 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 100 K =$

$= 209500 J = 209, 5 kJ$

Wyznaczmy ciepło oddane przez parę wodną do końca trzeciego etapu. Będzie ono sumą ciepła oddanego na pieszym, drugim i trzecim etapie:

$Δ Q_{3} = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3}$

gdzie:

$Δ Q_{3}$ - ciepło oddane przez parę wodną od początku procesu do końca trzeciego etapu.

Otrzymamy wtedy:

$Δ Q_{3} = Δ Q_{2} + Q_{3}$

Obliczamy:

$Δ Q_{3} = 1150 kJ + 209, 5 kJ = 1359, 5 kJ$

Do końca trzeciego etapu wykres zależności temperatury od ciepła oddanego będzie miała postać:

▶ Etap 4: Zmiana stanu skupienia z ciekłego (woda) na stały (lód).

Ciepło przemiany fazowej przy przejściu z stanu ciekłego na stały możemy przedstawić wzorem:

$Q_{4} = m L$

gdzie:

$Q_{4}$ - ciepło oddane przez wodę w czasie zmiany stanu skupienia z wody na lód,

$m$ - masa krzepnącej wody,

$L$ - ciepło krzepnięcia (odpowiada ciepłu topnienia lodu).

Obliczamy, ile ciepła oddała woda w czasie tej przemiany fazowej:

$Q_{4} = 0, 5 kg \cdot 3, 34 \cdot 1 0^{5} \frac{J}{kg} = 1, 67 \cdot 1 0^{5} J =$

$= 167 \cdot 1 0^{3} J = 167 kJ$

Wyznaczmy ciepło oddane przez parę wodną do końca czwartego etapu ruchu. Będzie ono sumą ciepła oddanego w czterech etapach ruchu:

$Δ Q_{4} = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} + Q_{4}$

gdzie:

$Δ Q_{4}$ - ciepło oddane przez parę wodną od początku procesu do końca czwartego etapu.

Otrzymamy wówczas:

$Δ Q_{4} = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} + Q_{4}$

$Δ Q_{4} = Δ Q_{2} + Q_{3} + Q_{4}$

$Δ Q_{4} = Δ Q_{3} + Q_{4}$

Obliczamy ciepło oddane przez parę wodną do końca czwartego etapu:

$Δ Q_{4} = 1359, 5 kJ + 167 kJ = 1526, 5 kJ$

Na tym etapie wykres będzie miał postać:

▶ Etap 5: Obniżenie temperatury lodu do temperatury końcowej.

Bezwzględna zmiana temperatury lody będzie miała postać:

$Δ T_{5} = T_{t} - T_{2}$

gdzie:

$Δ T_{5}$ - zmiana temperatury lodu na ostatnim etapie,

$T_{t}$ - początkowa temperatura lodu (odpowiada temperaturze topnienia),

$T_{2}$ - końcowa temperatura lodu.

Ciepło oddane w ostatnim procesie będzie miało postać:

$Q_{5} = m c_{l} Δ T_{5}$

gdzie:

$Q_{5}$ - ciepło oddane przez ochładzany do końcowej temperatury lód,

$m$ - masa ochładzanego lodu,

$c_{l}$ - ciepło właściwe lodu.

Z tego wynika, że:

$Q_{5} = m c_{l} (T_{t} - T_{2})$

Obliczamy ciepło oddane przez lód na tym etapie:

$Q_{5} = 0, 5 kg \cdot 2100 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot (273 K - 248 K) =$

$= 0, 5 kg \cdot 2100 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 25 K =$

$= 26250 J = 26, 25 kJ$

Zatem ostatecznie ciepło oddane przez parę wodną w całym procesie będzie sumą ciepła oddanego na każdym etapie:

$Q = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} + Q_{4} + Q_{5}$

gdzie:

$Q$ - całkowite ciepło oddane całym procesie.

Oznacza to, że w całym procesie ciepło oddane przez parę wodną będzie miało postać:

$Q = Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} + Q_{4} + Q_{5}$

$Q = Δ Q_{2} + Q_{3} + Q_{4} + Q_{5}$

$Q = Δ Q_{3} + Q_{4} + Q_{5}$

$Q = Δ Q_{4} + Q_{5}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q = 1526, 5 kJ + 26, 25 kJ = 1552, 75 kJ$

Odpowiedź: W całym procesie ciepło oddane przez parę wodną wynosiło 1552,75 kJ. Wykres zależności temperatury od ciepła oddanego w całym procesie będzie miał postać: