Dane:

$M=250\text{g}=0,25\text{kg}$  

$m_L=12\text{g}=0,012\text{kg}$  

$T_1={30}^{\circ }\text{C}=303\text{K}$  

$T_2={12}^{\circ }\text{C}=285\text{K}$   

$T_L=0^{\circ }\text{C}=273\text{K}$   

Szukane:

$n=?$  

Rozwiązanie:

W opisanej przemianie woda w szklance oddaje ciepło, a lód je pobiera. 

Zadanie zaczynamy od obliczenia ciepła, jakie oddała woda. Wiemy, że woda oddaje ciepło, czyli zmianę jej temperatury możemy przedstawić zależnością:

$\Delta T=T_1-T_2$  

Ciepło oddane przez wodę przy jej ochłodzeniu w wyniku wrzucenia do niej kostek lodu przedstawimy wzorem:

$Q_{\text{oddane}}=c_{\text{w}}M\Delta T$  

gdzie $c_{\text{w}}=4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$  jest ciepłem właściwym wody, $M$  jest masą wody, $\Delta T$  jest zmianą temperatury.

Wyznaczmy teraz całkowite ciepło jakie pobrał lód. Będzie ono sumą ciepła topnienia lodu i ciepła jakie pobierze z wody:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_{\text{topnienia}}+Q$  

Ciepło topnienia obliczymy korzystając z zależności:

$Q_{\text{topnienia}}=m{c}_t$  

gdzie $m$  jest masą wrzuconego do wody lodu, $c_t=3,34\cdot {10}^5\frac{\text{J}}{\text{kg}}$  jest ciepłem topnienia lodu.

Woda powstała z lodu po stopieniu ogrzeje się, w wyniku czego jej temperatura zmieni się o:

$\Delta T_2=T_2-T_L$    

Zatem ciepło pobrane przez wodę powstałą z lodu będzie wynosiło:

$Q=m{c}_{\text{w}}\Delta T_2$  

gdzie $m$  jest masą lodu potrzebnego do ochłodzenia wody. D

Aby obliczyć ilość kostek lodu potrzebnych do ochłodzenia lodu musimy obliczyć masę całego lodu potrzebnego do ochłodzenia wody. W tym celu zapisujemy równanie bilansu cieplnego i wyznaczamy całkowitą masę  lodu wrzuconego do wody:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_{\text{oddane}}$  

$Q_{\text{topnienia}}+Q=Q_{\text{oddane}}$  

$m{c}_t+m{c}_{\text{w}}\Delta T_2=c_{\text{w}}M\Delta T$  

$m\left(c_t+c_{\text{w}}\Delta T_2\right)=c_{\text{w}}M\Delta T\mid :\left(c_t+c_{\text{w}}\Delta T_2\right)$  

$m=\frac{c_{\text{w}}M\Delta T}{c_t+c_{\text{w}}\Delta T_2}$  

$m=\frac{c_{\text{w}}M\left(T_1-T_2\right)}{c_t+c_{\text{w}}\left(T_2-T_L\right)}$  

Znamy masę jednej kostki lodu. Ilość kostek lodu obliczymy ze stosunku masy lodu potrzebnej do ochłodzenia wody do masy jednej kostki lodu:

$n=\frac{m}{m_L}$  

$n=\frac{\frac{c_{\text{w}}M\left(T_1-T_2\right)}{c_t+c_{\text{w}}\left(T_2-T_L\right)}}{m_L}$  

$n=\frac{c_{\text{w}}M\left(T_1-T_2\right)}{m_L\left[c_t+c_{\text{w}}\left(T_2-T_L\right)\right]}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$n=\frac{4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 0,25\text{kg}\cdot \left(303\text{K}-285\text{K}\right)}{0,012\text{kg}\cdot \left[3,34\cdot {10}^5\frac{\text{J}}{\text{kg}}+4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot \left(285\text{K}-273\text{K}\right)\right]}=$  

$=\frac{1047,5\frac{\text{J}}{\text{K}}\cdot 18\text{K}}{0,012\text{kg}\cdot \left[3,34\cdot {10}^5\frac{\text{J}}{\text{kg}}+4190\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}\cdot 12\text{K}\right]}=$  

$=\frac{18855\text{J}}{0,012\text{kg}\cdot \left[334000\frac{\text{J}}{\text{kg}}+50280\frac{\text{J}}{\text{kg}}\right]}=$  

$=\frac{18855\text{J}}{0,012\text{kg}\cdot 384280\frac{\text{J}}{\text{kg}}}=\frac{18855\text{J}}{4611,36\text{J}}\approx$  

$\approx 4,088815\approx 4$  

Odpowiedź: Do ochłodzenia wody potrzeba nam około 4 kostek lodu.