Dane:

$n=2\text{mole}$  

$V_1=0,02{\text{m}}^3$  

$T_1=300\text{K}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała gazowa: $R=8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}$ .

 

$\text{a)}$  

Szukane:

$p_1=?$  

$p_2=?$  

$V_2=?$  

$T_2=?$  

$p_3=?$  

$V_3=?$  

$T_3=?$  

$p_4=?$  

$V_4=?$  

$T_4=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wszystkich parametrów gazu doskonałego opisanego w zadaniu. Z wykresu możemy odczytać jego temperaturę i objętość w każdym ze stanów. Natomiast jego ciśnienie możemy przedstawić za pomocą równania Clapeyrona. 

Rozważamy poszczególne stany gazu:

▶ stan 1:

♦ temperatura  $T_1$ :

$T_1=300\text{K}$  

♦ objętość  $V_1$ :

$V_1=0,02{\text{m}}^3$  

♦ ciśnienie:

$p_1{V}_1=nR{T}_1\mid :V_1$  

$p_1=\frac{nR{T}_1}{V_1}$  

gdzie: 

$p_1$  - ciśnienie gazu w stanie 1, 

$n$  - liczba moli gazu, 

$R$  - stała gazowa. 

Zatem:

$p_1=\frac{2\text{mole}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}\cdot 300\text{K}}{0,02{\text{m}}^3}=\frac{4986\text{J}}{0,02{\text{m}}^3}=$  

$=\frac{4986\text{N}\cdot \text{m}}{0,02{\text{m}}^3}=249300\frac{\text{N}}{{\text{m}}^2}=$  

$=249300\text{Pa}=2493\text{hPa}$  

▶ stan 2:

♦ temperatura  $T_2=2T_1$ :

$T_2=2\cdot 300\text{K}=600\text{K}$  

♦ objętość  $V_2=V_1$ :

$V_2=0,02{\text{m}}^3$  

♦ ciśnienie:

$p_2{V}_2=nR{T}_2\mid :V_2$  

$p_2=\frac{nR{T}_2}{V_2}$  

$p_2=\frac{nR\cdot 2T_1}{V_1}$  

$p_2=2\cdot \frac{nR{T}_1}{V_1}$  

$p_2=2p_1$  

$p_2=2\cdot 2493\text{hPa}=4986\text{hPa}$  

▶ stan 3:

♦ temperatura  $T_3=4T_1$ :

$T_3=4\cdot 300\text{K}=1200\text{K}$  

♦ objętość  $V_3=2V_1$ :

$V_3=2\cdot 0,02{\text{m}}^3=0,04m{}^3$  

♦ ciśnienie:

$p_3{V}_3=nR{T}_3\mid :V_3$  

$p_3=\frac{nR{T}_3}{V_3}$  

$p_3=\frac{nR\cdot 4T_1}{2V_1}$   

$p_3=2\cdot \frac{nR{T}_1}{V_1}$   

$p_3=2p_1$  

$p_3=2\cdot 2493\text{hPa}=4986\text{hPa}$  

▶ stan 4:

♦ temperatura  $T_4=2T_1$ :

$T_4=2\cdot 300\text{K}=600\text{K}$  

♦ objętość  $V_4=2V_1$ :

$V_4=2\cdot 0,02{\text{m}}^3=0,04m{}^3$  

♦ ciśnienie: 

$p_4{V}_4=nR{T}_4\mid :V_4$  

$p_4=\frac{nR{T}_4}{V_4}$  

$p_4=\frac{nR\cdot 2T_1}{2V_1}$  

$p_4=\frac{nR{T}_1}{V_1}$  

$p_4=p_1$  

$p_4=2493\text{hPa}$  

Odpowiedź: Otrzymane parametry gazu w poszczególnych punktach cyklu wynoszą:

$p_1=2493\text{hPa}$   

$V_1=0,02{\text{m}}^3$  

$T_1=300\text{K}$  

$p_2=4986\text{hPa}$  

$V_2=0,02{\text{m}}^3$  

$T_2=600\text{K}$  

$p_3=4986\text{hPa}$  

$V_3=0,04m{}^3$  

$T_3=1200\text{K}$  

$p_4=2493\text{hPa}$  

$V_4=0,04m{}^3$  

$T_4=600\text{K}$  

 

$\text{b)}$  

Wykonujemy wykres zależności ciśnienia od objętości. Korzystamy z wielkości obliczonych w poprzednim podpunkcie:

 

$\text{c)}$  

Szukane:

$Q_{\text{pobrane}}=?$  

$Q_{\text{oddane}}=?$  

Rozwiązanie:

Szukamy ciepła pobranego i oddanego w całym procesie. Możemy ten podpunkt rozważyć na różne sposoby. 

Sposób I: ciepło pobrane i pracę gazy wyznaczamy z wykresów. 

Gdy temperatura gazu wzrasta to pobiera on ciepło. Z wykresu w zbiorze zadań widzimy, że gaz pobiera ciepło w procesie 1→2 oraz 2→3.  Przemiana 1→2 jest izochoryczna. Wówczas ciepło pobrane przez gaz możemy przedstawić wzorem:

$Q_{1\to 2}=n{c}_V\Delta T_{1\to 2}$  

gdzie:

$n$  - liczba moli gazu, 

$c_V=\frac{5}{2}R$  - molowe ciepło właściwe przy stałej objętości dla gazu o cząsteczkach dwuatomowych, 

$\Delta T_{1\to 2}$  - zmiana temperatury gazu w tym procesie. 

Zmiana temperatury będzie wynosiła:

$\Delta T_{1\to 2}=T_2-T_1$  

$\Delta T_{1\to 2}=2T_1-T_1$  

$\Delta T_{1\to 2}=T_1$  

Przemiana 2→3 jest izobaryczna. Wówczas ciepło pobrane przez gaz będzie miało postać:

$Q_{2\to 3}=n{c}_p\Delta T_{2\to 3}$  

gdzie:

$n$  - liczba moli gazu, 

$c_p=\frac{7}{2}R$  - molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu dla gazu o cząsteczkach dwuatomowych, 

$\Delta T_{1\to 2}$  - zmiana temperatury gazu w tym procesie. 

Zmiana temperatury w tym przypadku będzie wynosiła:

$\Delta T_{2\to 3}=T_3-T_2$  

$\Delta T_{2\to 3}=4T_1-2T_1$  

$\Delta T_{2\to 3}=2T_1$  

Oznacza to, że całkowite ciepło pobrane przez gaz będzie wynosiło:

$Q_{\text{pobrane}}=Q_{1\to 2}+Q_{2\to 3}$  

$Q_{\text{pobrane}}=n{c}_V\Delta T_{1\to 2}+n{c}_p\Delta T_{2\to 3}$  

$Q_{\text{pobrane}}=n\cdot \frac{5}{2}R{T}_1+n\cdot \frac{7}{2}R\cdot 2T_1$  

$Q_{\text{pobrane}}=2,5nR{T}_1+7nR{T}_1$  

$Q_{\text{pobrane}}=9,5nR{T}_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{\text{pobrane}}=9,5\cdot 2\text{mole}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}\cdot 300\text{K}=47367\text{J}\approx$  

$\approx 47400\text{J}=47,4\text{kJ}$  

Następnie z wykresu wykonanego w poprzednim podpunkcie możemy wyznaczyć pracę wykonaną przez gaz jako pole ograniczone tym wykresem:

Mamy prostokąt, którego pole będzie miało postać:

$\Delta W=\left(2V_1-V_1\right)\cdot \left(2p_1-p_1\right)$  

$\Delta W=V_1{p}_1$  

$\Delta W=V_1\cdot \frac{nR{T}_1}{V_1}$  

$\Delta W=nR{T}_1$  

Praca wykonana przez gaz jest różnią pomiędzy ciepłem pobranym i oddanym przez ten gaz:

$\Delta W=Q_{\text{pobrane}}-Q_{\text{oddane}}$  

Oznacza to, że ciepło oddane przez gaz w tej przemianie będzie miało postać:

$\Delta W=Q_{\text{pobrane}}-Q_{\text{oddane}}\mid +Q_{\text{oddane}}-\Delta W$  

$Q_{\text{oddane}}=Q_{\text{pobrane}}-\Delta W$  

$Q_{\text{oddane}}=9,5nR{T}_1-nR{T}_1$  

$Q_{\text{oddane}}=8,5nR{T}_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{\text{oddane}}=8,5\cdot 2\text{mole}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}\cdot 300\text{K}=42381\text{J}\approx$  

$\approx 42400\text{J}=42,4\text{kJ}$  

Sposób II: ciepło pobrane i oddane wyznaczamy z wykresów

Ciepło pobrane wyznaczamy dokładnie taką samą metodą jak w poprzednim sposobie. 

Ciepło oddane przez gaz mamy, gdy jego temperatura zmniejsza się, czyli w procesach 3→4 oraz 4→1. Przemiana 3→4 jest izochoryczna, czyli ciepło oddane w niej przez gaz ma postać:

$Q_{3\to 4}=n{c}_V\Delta T_{3\to 4}$  

gdzie:

$\Delta T_{3\to 4}=T_3-T_4$  

$\Delta T_{3\to 4}=4T_1-2T_1$  

$\Delta T_{3\to 4}=2T_1$  

Przemiana 4→1 jest izobaryczna, czyli ciepło oddane w tej przemianie będzie miało postać:

$Q_{4\to 1}=n{c}_p\Delta T_{4\to 1}$  

gdzie:

$\Delta T_{4\to 1}=T_4-T_1$  

$\Delta T_{4\to 1}=2T_1-T_1$  

$\Delta T_{4\to 1}=T_1$  

Wówczas ciepło oddawane przez gaz w całym cyklu będzie miało postać:

$Q_{\text{oddane}}=Q_{3\to 4}+Q_{4\to 1}$  

$Q_{\text{oddane}}=n{c}_V\Delta T_{3\to 4}+n{c}_p\Delta T_{4\to 1}$  

$Q_{\text{oddane}}=n\cdot \frac{5}{2}R\cdot 2T_1+n\cdot \frac{7}{2}R\cdot T_1$  

$Q_{\text{oddane}}=5nR{T}_1+3,5nR{T}_1$  ` 

$Q_{\text{oddane}}=8,5nR{T}_1$  ` 

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q_{\text{oddane}}=8,5\cdot 2\text{mole}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}\cdot 300\text{K}=42381\text{J}\approx$  

$\approx 42400\text{J}=42,4\text{kJ}$  

Odpowiedź: Ciepło pobrane przez gaz wynosi około 47,4 kJ. Natomiast ciepło oddane przez gaz wynosi około 42,4 kJ

 

 

$\text{d)}$  

Szukane:

$\Delta W=?$  

$\eta =?$  

Rozwiązanie:

Efektywną (całkowitą) prace gazu wyznaczyliśmy w poprzednim podpunkcie, przy okazji rozważań nad ciepłem:

$\Delta W=nR{T}_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\Delta W=2\text{mole}\cdot 8,31\frac{\text{J}}{\text{mol}\cdot \text{K}}\cdot 300\text{K}=4986\text{J}\approx$  

$\approx 5000\text{J}=5\text{kJ}$  

Sprawność silnika obliczymy jako procentowy stosunek pracy wykonanej przez gaz do ciepła pobranego w całym procesie:

$\eta =\frac{\Delta W}{Q_{\text{pobrane}}}\cdot 100\%$  

Korzystając z poprzedniego podpunktu otrzymujemy, że:

$\eta =\frac{nR{T}_1}{9,5nR{T}_1}\cdot 100\%$  

$\eta =\frac{1}{9,5}\cdot 100\%$  

$\eta \approx 0,11\cdot 100\%$  

$\eta \approx 11\%$  

Odpowiedź: Efektywna praca cyklu wynosi około 5 kJ, a sprawność tego cyklu to około 11%.