Na rysunku przedstawiono...- Zadanie Zadanie 34.1: Fizyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a)$

1 → 2: rozprężanie gazu.

2 → 3: izobaryczne oziębianie gazu (izobaryczne sprężanie gazu).

3 → 1: izochoryczne ochładzanie gazu.

$b)$

Wykonajmy obliczenia pomocnicze:

Dla gazu doskonałego jego parametry możemy opisać za pomocą równania Clapeyrona:

$p V = n R T$

gdzie:

$p$ - ciśnienie gazu,

$V$ - objętość gazu,

$n$ - liczba moli gazu,

$R$ - stała gazowa,

$T$ - temperatura gazu doskonałego.

W naszym przypadku liczba moli nie zmienia się:

$n = const$

Wówczas w punkcie 1:

▶ temperatura: $T_{1}$ ,

▶ objętość: $V_{1}$ ,

▶ ciśnienie:

$p_{1} V_{1} = n R T_{1} ∣ : V_{1}$

$p_{1} = \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$ .

W punkcie 2:

▶ temperatura: $T_{2} = 7, 2 T_{1}$ ,

▶ objętość: $V_{2} = 3, 6 V_{1}$ ,

▶ ciśnienie:

$p_{2} V_{2} = n R T_{2} ∣ : V_{2}$

$p_{2} = \frac{n R T _{2}}{V _{2}}$

$p_{2} = \frac{n R \cdot 7 , 2 T _{1}}{3 , 6 V _{1}}$

$p_{2} = \frac{7 , 2}{3 , 6} \cdot \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$

$p_{2} = 2 p_{1}$

W punkcie 3:

▶ temperatura: $T_{3} = 2 T_{1}$ ,

▶ objętość: $V_{3} = V_{1}$ ,

▶ ciśnienie:

$p_{3} V_{3} = n R T_{3} ∣ : V_{3}$

$p_{3} = \frac{n R T _{3}}{V _{3}}$

$p_{3} = \frac{n R \cdot 2 T _{1}}{V _{1}}$

$p_{3} = 2 \cdot \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$

$P_{3} = 2 p_{1}$

Rozważamy poszczególne przemiany. Z wykresu zależności objętości od temperatury dołączonego do zadania wynika, że:

Przemiana 1 → 2: rozprężanie gazu.

Objętość wzrasta liniowo wraz ze wzrostem temperatury. Ponieważ przedłużenie tego wykresu nie pada w początku układu współrzędnych to oznacza, że ciśnienie również ulega w tym przypadku zmianie.

Oszacujmy wartości ciśnienia od objętości na podstawie wykresu dołączonego do zadania.

Zacznijmy od wyznaczenia objętości, które możemy przedstawić za pomocą funkcji liniowej. Funkcja liniowa ma postać:

$y (x) = a x + b$

gdzie:

$x$ - dziedzina funkcji,

$y (x)$ - wartość funkcji,

$a$ - współczynnik kierunkowy prostej,

$b$ - wyraz wolny.

Wówczas:

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2}) = a \cdot T_{1 \to 2} + b$

Korzystając z danych w stanie 1 możemy zapisać, że:

$V_{1 \to 2} (T_{1}) = a \cdot T_{1} + b$

$V_{1} = a \cdot T_{1} + b ∣ - a \cdot T_{1}$

$V_{1} - a \cdot T_{1} = b$

$b = V_{1} - a \cdot T_{1}$

Korzystając z danych w stanie 2 możemy zapisać, że:

$V_{1 \to 2} (T_{2}) = a \cdot T_{2} + b$

$V_{2} = a \cdot 7, 2 T_{1} + V_{1} - a \cdot T_{1}$

$3, 6 V_{1} = a \cdot 7, 2 T_{1} + V_{1} - a \cdot T_{1} ∣ - V_{1}$

$2, 6 V_{1} = a \cdot 6, 2 T_{1} ∣ : 6, 2 T_{1}$

$\frac{2 , 6 V _{1}}{6 , 2 T _{1}} = a$

$a = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}}$

Z tego wynika, że:

$b = V_{1} - a \cdot T_{1}$

$b = V_{1} - \frac{13 V _{1}}{31 T _{1}} \cdot T_{1}$

$b = \frac{31}{31} V_{1} - \frac{13}{31} V_{1}$

$b = \frac{18}{31} V_{1}$

Oznacza to, że objętość możemy przedstawić zależnością:

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot T_{1 \to 2} + \frac{18}{31} V_{1}$

Z równania Clapeyrona ciśnienie przedstawimy jako:

$p_{1 \to 2} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R T _{1 \to 2}}{V _{1 \to 2} ( T _{1 \to 2} )}$

Oszacujmy te wielkości dla punktów pośrednich zależności ciśnienia od objętości:

▶ Dla $T_{1 \to 2.1} = T_{1}$ mamy:

♦ Objętość:

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.1}) = V_{1}$

♦ Ciśnienie:

$p_{1 \to 2.1} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R T _{1 \to 2.1}}{V _{1 \to 2} ( T _{1 \to 2.1} )}$

$p_{1 \to 2.1} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$

$p_{1 \to 2.1} (V_{1 \to 2}) = p_{1}$

▶ Dla $T_{1 \to 2.2} = 2 T_{1}$ mamy:

♦ Objętość:

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.2}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot T_{1 \to 2.2} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.2}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot 2 T_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.2}) = \frac{26}{31} V_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.2}) = \frac{44}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.2}) \approx 1, 42 V_{1}$

♦ Ciśnienie:

$p_{1 \to 2.2} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R T _{1 \to 2.2}}{V _{1 \to 2} ( T _{1 \to 2.2} )}$

$p_{1 \to 2.2} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R \cdot 2 T _{1}}{\frac{44}{31} V _{1}}$

$p_{1 \to 2.2} (V_{1 \to 2}) = \frac{62}{44} \cdot \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$

$p_{1 \to 2.2} (V_{1 \to 2}) \approx 1, 41 p_{1}$

▶ Dla $T_{1 \to 2.3} = 3 T_{1}$ mamy:

♦ Objętość:

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.3}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot T_{1 \to 2.3} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.3}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot 3 T_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.3}) = \frac{39}{31} V_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.3}) = \frac{57}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.3}) \approx 1, 84 V_{1}$

♦ Ciśnienie:

$p_{1 \to 2.3} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R T _{1 \to 2.3}}{V _{1 \to 2} ( T _{1 \to 2.3} )}$

$p_{1 \to 2.3} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R \cdot 3 T _{1}}{\frac{57}{31} V _{1}}$

$p_{1 \to 2.3} (V_{1 \to 2}) = \frac{93}{57} \cdot \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$

$p_{1 \to 2.3} (V_{1 \to 2}) \approx 1, 63 p_{1}$

▶ Dla $T_{1 \to 2.4} = 4 T_{1}$ mamy:

♦ Objętość:

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.4}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot T_{1 \to 2.4} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.4}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot 4 T_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.4}) = \frac{52}{31} V_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.4}) = \frac{70}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.4}) \approx 2, 26 V_{1}$

♦ Ciśnienie:

$p_{1 \to 2.4} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R T _{1 \to 2.4}}{V _{1 \to 2} ( T _{1 \to 2.4} )}$

$p_{1 \to 2.4} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R \cdot 4 T _{1}}{\frac{70}{31} V _{1}}$

$p_{1 \to 2.4} (V_{1 \to 2}) = \frac{124}{70} \cdot \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$

$p_{1 \to 2.4} (V_{1 \to 2}) \approx 1, 77 p_{1}$

▶ Dla $T_{1 \to 2.5} = 5 T_{1}$ mamy:

♦ Objętość:

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.5}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot T_{1 \to 2.2} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.5}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot 5 T_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.5}) = \frac{65}{31} V_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.5}) = \frac{83}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.5}) \approx 2, 68 V_{1}$

♦ Ciśnienie:

$p_{1 \to 2.5} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R T _{1 \to 2.5}}{V _{1 \to 2} ( T _{1 \to 2.5} )}$

$p_{1 \to 2.5} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R \cdot 5 T _{1}}{\frac{83}{31} V _{1}}$

$p_{1 \to 2.5} (V_{1 \to 2}) = \frac{155}{83} \cdot \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$

$p_{1 \to 2.5} (V_{1 \to 2}) \approx 1, 87 p_{1}$

▶ Dla $T_{1 \to 2.6} = 6 T_{1}$ mamy:

♦ Objętość:

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.6}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot T_{1 \to 2.6} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.6}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot 6 T_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.6}) = \frac{78}{31} V_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.6}) = \frac{96}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.6}) \approx 3, 10 V_{1}$

♦ Ciśnienie:

$p_{1 \to 2.6} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R T _{1 \to 2.6}}{V _{1 \to 2} ( T _{1 \to 2.6} )}$

$p_{1 \to 2.6} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R \cdot 6 T _{1}}{\frac{96}{31} V _{1}}$

$p_{1 \to 2.6} (V_{1 \to 2}) = \frac{186}{96} \cdot \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$

$p_{1 \to 2.6} (V_{1 \to 2}) \approx 1, 94 p_{1}$

▶ Dla $T_{1 \to 2.7} = 7 T_{1}$ mamy:

♦ Objętość:

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.7}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot T_{1 \to 2.7} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.7}) = \frac{13}{31} \frac{V _{1}}{T _{1}} \cdot 7 T_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.7}) = \frac{91}{31} V_{1} + \frac{18}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.7}) = \frac{109}{31} V_{1}$

$V_{1 \to 2} (T_{1 \to 2.7}) \approx 3, 52 V_{1}$

♦ Ciśnienie:

$p_{1 \to 2.7} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R T _{1 \to 2.7}}{V _{1 \to 2} ( T _{1 \to 2.7} )}$

$p_{1 \to 2.7} (V_{1 \to 2}) = \frac{n R \cdot 7 T _{1}}{\frac{109}{31} V _{1}}$

$p_{1 \to 2.7} (V_{1 \to 2}) = \frac{217}{109} \cdot \frac{n R T _{1}}{V _{1}}$

$p_{1 \to 2.7} (V_{1 \to 2}) \approx 1, 99 p_{1}$

Zaznaczamy te punkty na wykresie i prowadzimy przez nie krzywą.

Przemiana 2 → 3: izobaryczne oziębianie gazu (izobaryczne sprężanie gazu).

Z wykresu dołączonego do zadania wynika, że przedłużenie tego wykresu pada w początku układu współrzędnych. Oznacza to, że ciśnienie w tej przemianie jest stałe i wynosi:

$p_{2} = 2 p_{1}$

Zatem dla tego etapu wykres reprezentowany jest przez funkcję równoległą do osi odciętych.

Przemiana 3 → 1: izochoryczne ochładzanie gazu.

Możemy połączyć stan 3 i 1.

Wykonajmy wykres zależności cyklu w układzie p, V:

$c)$

UWAGA! Zadanie to możemy rozwiązać w sposób ogólny i bardzo szczegółowy. Otrzymamy wówczas różne wyniki, ponieważ zastosujemy inne dokładności.

Sposób I: ogólny.

Dane:

$p_{1} = 2 \cdot 10^{5} Pa$

$V_{1} = 2 \cdot 10^{- 2} m^{3}$

Szukane:

$W = ?$

Rozwiązanie:

Praca wykonana przez gaz w tych przemianach odpowiada polu ograniczonemu przez wykres p, V. Z poprzedniego zadania możemy zauważyć, że pole to możemy przybliżyć do pola trójkąta prostokątnego o bokach:

$a = V_{2} - V_{1}$

$b = p_{2} - p_{1}$

Zauważmy zatem, że mamy trójkąt o polu:

$W = \frac{1}{2} a b$

$W = \frac{1}{2} \cdot (V_{2} - V_{1}) (p_{2} - p_{1})$

$W = \frac{1}{2} \cdot (3, 6 V_{1} - V_{1}) (2 p_{1} - p_{1})$

$W = \frac{1}{2} \cdot 2, 6 V_{1} \cdot p_{1}$

$W = 1, 3 V_{1} \cdot p_{1}$

Wiemy, że:

$p_{1} = 2 \cdot 10^{5} Pa$

$V_{1} = 2 \cdot 10^{- 2} m^{3}$

Oznacza to, że:

$W = 1, 3 \cdot 2 \cdot 10^{- 2} m^{3} \cdot 2 \cdot 10^{5} Pa = 5, 2 \cdot 10^{3} Pa \cdot m^{3} =$

$= 5, 2 \cdot 10^{3} J = 5, 2 kJ$

Odpowiedź: Praca wykonana przez gaz w tych przemianach wynosi około 5,2 kJ.

Sposób II: z dużą dokładnością.

Dane:

$p_{1} = 2 \cdot 10^{5} Pa$

$V_{1} = 2 \cdot 10^{- 2} m^{3}$

Szukane:

$W = ?$

Rozwiązanie:

Praca wykonana przez gaz w tych przemianach odpowiada polu ograniczonemu przez wykres p, V. Korzystając z tego wykresu możemy zaważyć, że jedna kratka ma wymiar $Δ V$ na $Δ p$ , gdzie:

$Δ V = 0, 1 V_{1}$