Średnia szybkość kwadratowa cząsteczek tlenu w temperaturze...- Zadanie Zadanie 29.4: Fizyka 2. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$\overline{v^{2}} = 500 \frac{m}{s}$

$μ = 32 \frac{g}{mol} = 0, 032 \frac{kg}{mol}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ stała Avogadro: $N_{A} = 6, 022 \cdot 1 0^{23} \frac{1}{mol}$ .

$a)$

Szukane:

$p = ?$

Rozwiązanie:

Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p = m v$

gdzie:

$p$ - wartość pędu cząsteczki,

$m$ - masa cząsteczki,

$v$ - wartość prędkości cząsteczki.

W naszym przypadku za wartość prędkości przyjmujemy średnią szybkość kwadratową dla cząsteczek telnu.

$p = m \overline{v^{2}}$

gdzie:

$\overline{v^{2}}$ - średnia szybkość kwadratowa.

Masę cząsteczki możemy przedstawić jako stosunek masy jednego mola gazu do liczby Avogadra:

$m = \frac{μ}{N _{A}}$

gdzie:

$μ$ - masa molowa cząsteczki tlenu,

$N_{A}$ - stała Avogadro.

Stąd:

$p = \frac{μ}{N _{A}} \cdot \overline{v^{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$p = \frac{0 , 032 \frac{kg}{mol}}{6 , 022 \cdot 1 0 ^{23} \frac{1}{mol}} \cdot 500 \frac{m}{s} \approx 0, 005314 \cdot 1 0^{- 23} kg \cdot 500 \frac{m}{s} \approx 2, 66 \cdot 1 0^{- 23} \frac{kg \cdot m}{s}$

$b)$

Cząsteczki tlenu znajdujące się w naczyniu poruszają się chaotycznie i podczas swojego ruchu zderzają się ściankami naczynia. Rozpatrujemy pojedynczą cząsteczkę poruszającą się w dowolnym kierunku w naczyniu.

Cząsteczka zmierza w stronę prawej ścianki naczynia po prostej nachylonej do niej pod pewnym dowolnym kątem. Wektor prędkości cząsteczki możemy rozłożyć na dwie składowe - w kierunku poziomym i pionowym.

W wyniku zderzenia ze ścianką cząsteczka odbija się od niej.

Zderzenie rozpatrujemy tylko w wymiarze poziomym (osi x). W takim zderzeniu cząsteczka nie wytraca składowych pionowych pędu, a jedynie składowe poziome. Oznacza to, że bierzemy pod uwagę jedynie składową poziomą wektora prędkości cząsteczki.

Zapisujemy wartość pędu początkowego cząsteczki (w osi x).

$p_{1} = m v_{1. x}$

gdzie:

$p_{1}$ - wartość pędu początkowego cząsteczki,

$m$ - masa cząsteczki,

$v_{1. x}$ - wartość prędkości cząsteczki.

Zapisujemy wartość pędu cząsteczki po zderzeniu (w osi x).

$p_{2} = m v_{2. x}$

$p_{2}$ - wartość pędu cząsteczki po zderzeniu,

$m$ - masa cząsteczki,

$v_{2. x}$ - wartość prędkości cząsteczki po zderzeniu.

Ścianki naczynia są nieruchome. Zapiszmy jeszcze możliwą wartość pędu ścianki naczynia po zderzeniu.

$p_{s} = M_{s} v_{s}$

gdzie:

$p_{s}$ - wartość pędu ścianki po zderzeniu,

$M_{s}$ - masa ścianki,

$v_{s}$ - wartość prędkości ścianki po zderzeniu.

Zderzenie cząsteczki ze ścianką naczynia traktujemy jako doskonale sprężyste. Korzystamy z zasady zachowania pędu.

$p_{1} = p_{s} - p_{2}$

Zatem:

$m v_{1. x} = M_{s} v_{s} - m v_{2. x}$

Masa ścianki jest znacznie większa od masy pojedynczej cząsteczki. Możemy zapisać, że:

$m ≪ M_{s}$

Stąd:

$\frac{m}{M _{s}} \approx 0$

Równanie zapisujemy jako:

$m v_{1. x} = M_{s} v_{s} - m v_{2. x} ∣ : M_{s}$

$\frac{m}{M _{s}} v_{1. x} = \frac{M _{s}}{M _{s}} v_{s} - \frac{m}{M _{s}} v_{2. x}$

$0 \cdot v_{1. x} = 1 \cdot v_{s} - 0 \cdot v_{2. x}$

$v_{s} = 0$

Z naszego warunku wynika, ze ścianka naczynia pozostaje nieruchoma po zderzeniu.

Zasada zachowania pędu upraszcza się do równania:

$m v_{1. x} = - m v_{2. x}$

Stąd:

$p_{1} = - p_{2}$

$p_{2} = - p_{1}$

Wartość zmiany pędu cząsteczki wyrazimy jako:

$∣Δ p ∣ = ∣ p_{2} - p_{1} ∣$

gdzie:

$∣Δ p ∣$ - bezwzględna zmiana wartości pędu.

$∣Δ p ∣ = ∣ - p_{1} - p_{1} ∣$

$∣Δ p ∣ = ∣ - 2 p_{1} ∣$

$∣Δ p ∣ = 2 p_{1}$

Otrzymujemy:

$∣Δ p ∣ = 2 m v_{1. x}$

Korzystając z zależności trygonometrycznych możemy zapisać:

$cos α = \frac{v _{1. x}}{v _{1}}$

$v_{1.x} = v_{1} cos α$

Stąd:

$∣Δ p ∣ = 2 m v_{1} cos α$

Cząsteczka zderza się ze ścianką, oddaje jej swój pęd, a następnie ściana pozostając nieruchomo w wyniku swojej sprężystości oddaje pęd cząsteczce. Przekaz pędu będzie największy, kiedy wartość zmiany pędu będzie możliwie największa. Maksimum uzyskujemy dla:

$cos α = 1$

czyli:

$α = 0^{\circ}$

Otrzymujemy:

$∣Δ p ∣ = 2 m v_{1}$

Przekaz pędu jest największy w trakcie zderzenia sprężystego prostopadle do powierzchni padania cząsteczki, czyli pod kątem 0°. Wartość zmiany pędu całkowitego cząsteczki będzie wówczas równa wyznaczonej przez nas zmianie wartości pędu:

$∣Δ p ∣ = 2 m v_{1}$