TREŚĆ:

Zadanie 1.

Hokeista uderzył kijem w nieruchomy krążek. Po uderzeniu krążek uzyskał poziomą prędkość początkową o wartości $v_1=14\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Dalej krążek poruszał się po powierzchni lodu ruchem jednostajnie opóźnionym prostoliniowym. Od momentu uzyskania prędkości ${\vec{v}}_1$ po uderzeniu aż do chwili zatrzymania się krążek przebył drogę $s_1=28\text{m}$.

W zadaniach $\mathrm{1.1.}-\mathrm{1.3.}$ przyjmij, że siła tarcia kinetycznego, działająca na krążek poruszający się po lodzie, ma stałą wartość, proporcjonalną do wartości ciężaru krążka. Pomiń inne siły działające na krążek w kierunku poziomym.

Zadanie 1.2.

Hokeista ponownie uderzył kijem w ten sam nieruchomy krążek. Po tym uderzeniu krążek uzyskał poziomą prędkość początkową o wartości $v_2$ dwukrotnie  mniejszą od $v_1$.

Oblicz drogę, jaką przebył krążek od momentu uzyskania prędkości ${\vec{v}}_2$ aż do chwili zatrzymania się.

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$v_1=14\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$s_1=28\text{m}$

Szukane:

$s_2=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie, jaką drogę przebył krążek od momentu uzyskania szybkości $v_2$ do chwili zatrzymania się. Z treści zadania wiemy, że w tym przypadku krążek po uderzeniu uzyskał szybkość dwukrotnie mniejszą niż w początkowej sytuacji, zapiszemy więc:

$v_2=\frac{1}{2}{v}_1$

gdzie:

$v_1$ - początkowa szybkość krążka, 

$v_2$ - szybkość krążka dla drugiego przypadku. 

Krążek zarówno w pierwszym, jak i w drugim przypadku poruszał się z opóźnieniem, a jedyną działającą na niego siłą jest siła tarcia kinetycznego. Zgodnie ze wskazówką załączoną do zadania siła tarcia kinetycznego ma stałą wartość, proporcjonalną do ciężaru krążka. Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wartość przyspieszenia jest wprost proporcjonalna do wartości siły. Oznacza to, że skoro na krążek działa stała siła tarcia kinetycznego to porusza się on ze stałym przyspieszeniem, niezależnym od wartości prędkości nadanej krążkowi przez hokeistę.

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA Korzystając z definicji przyspieszenia, wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ gdzie: $a$ - wartość przyspieszenia, $\Delta v$ - zmiana szybkości ciała, $\Delta t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Korzystając z definicji przyspieszenia, zapisać możemy dwa wzory:

$a=\frac{v_1}{t_1}$

$a=\frac{v_2}{t_2}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia krążka, 

$v_1$ - szybkość, z jaką krążek został początkowo uderzony (odpowiada zmianie szybkości krążka dla pierwszego przypadku), 

$t_1$ - czas, w jakim początkowo hamował krążek, 

$v_2$ - szybkość, z jaką krążek został uderzony w tym przypadku (odpowiada zmianie szybkości krążka dla tego przypadku), 

$t_2$ - czas hamowania krążka dla drugiego przypadku. 

Czas hamowania krążka w pierwszym przypadku opisuje wzór:

$a=\frac{v_1}{t_1}|\cdot t_1$

$a{t}_1=v_1|:a$

$t_1=\frac{v_1}{a}$

Natomiast czas hamowania krążka dla rozważanego przypadku wynosi:

$t_2=\frac{v_2}{a}$

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE OPÓŹNIONYM Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie opóźnionym, przedstawiamy za pomocą wzoru: $s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$ gdzie: $s$ - droga pokonana przez ciało, $v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało (opóźnienie),  $t$ - czas ruchu ciała.

Zapisując ten wzór dla początkowej sytuacji, możemy wyznaczyć wartość przyspieszenia, z jakim porusza się krążek. Najpierw zapisujemy wzór:

$s_1=v_1{t}_2-\frac{1}{2}a{t}_1^2$

gdzie:

$s_1$ - droga, jaką początkowo przebył krążek. 

Ponieważ $t_1=\frac{v_1}{a}$ to:

$s_1=v_1\cdot \frac{v_1}{a}-\frac{1}{2}a{\left(\frac{v_1}{a}\right)}^2$

$s_1=\frac{v_1^2}{a}-\frac{1}{2}\cancel{a}\cdot \frac{v_1^2}{a^{\cancel{2}}}$

$s_1=\frac{v_1^2}{a}-\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{a}$

$s_1=\frac{1}{2}\frac{v_1^2}{a}|\cdot a$

$a{s}_1=\frac{1}{2}{v}_1^2|:s_1$

$a=\frac{v_1^2}{s_1}$

Drogę dla drugiego przypadku, gdy krążek został uderzony, przedstawimy wzorem:

$s_2=v_2{t}_2-\frac{1}{2}a{t}_2^2$

gdzie:

$s_2$ - droga przebyta przez krążek w tym przypadku (szukana). 

Ponieważ $t_2=\frac{v_2}{a}$ to otrzymamy:

$s_2=v_2\cdot \frac{v_2}{a}-\frac{1}{2}a\cdot {\left(\frac{v_2}{a}\right)}^2$

$s_2=\frac{v_2^2}{a}-\frac{1}{2}\cancel{a}\cdot \frac{v_2^2}{a^{\cancel{2}}}$

$s_2=\frac{v_2^2}{a}-\frac{1}{2}\frac{v_2^2}{a}$

$s_2=\frac{1}{2}\frac{v_2^2}{a}$

Podstawiamy $a=\frac{v_1^2}{2s_1}$:

$s_2=\frac{v_2^2}{2}\cdot \frac{1}{a}$

$s_2=\frac{v_2^2}{2}\cdot \frac{1}{\frac{v_1^2}{2s_1}}$

$s_2=\frac{v_2^2}{\cancel{2}}\cdot \frac{\cancel{2}{s}_1}{v_1^2}$

$s_2=\frac{v_2^2}{v_1^2}{s}_1$

$s_2={\left(\frac{v_2}{v_1}\right)}^2{s}_1$

Z treści zadania wiemy, że $v_2=\frac{1}{2}{v}_1$, zatem:

$s_2={\left(\frac{\frac{1}{2}\cancel{v_1}}{\cancel{v_1}}\right)}^2{s}_1$

$s_2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2{s}_1$

$s_2=\frac{1}{4}{s}_1$

$s_2=\frac{s_1}{4}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$s_2=\frac{28\text{m}}{4}=7\text{m}$

Odpowiedź: Krążek przebył drogę równą $7\text{m}$.