Dane:

$d=2\mathrm{m}$  

$v=340\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$  

$f=680\mathrm{Hz}$  

Z rysunku dołączonego do zadania wynika, że:

$L=40\mathrm{m}$  

 

$\text{1.1.}$  

Szukane:

${\lambda }_0=?$

${\lambda }_1=?$

${\lambda }_2=?$

Rozwiązanie:

Szukamy największej możliwej długości fali oraz dwóch kolejnych długości. W naszym przypadku odległość między głośnikami odpowiada różnicy dróg przebytych przez fale:

$\Delta s=d$  

W przypadku wygaszenia fali spełniona jest zależność:

$\Delta s=\left(n+\frac{1}{2}\right)\cdot \lambda$  

gdzie:

 $\Delta s$ - różnica dróg przebytych przez falę,

$\lambda$ - długość fali,

$n=0,1,2,3\dots$ - kolejne wygaszenia fali .

Zatem ogólnie długość fali możemy przedstawić jako:

$\left(n+\frac{1}{2}\right)\cdot \lambda =\Delta s$

$\frac{1}{2}\left(2n+1\right)\cdot \lambda =d|\cdot 2$

$\left(2n+1\right)\cdot \lambda =2d|:\left(2n+1\right)$

$\lambda =\frac{2d}{2n+1}$

 ▶ Zatem największa długość fali dźwięku będzie dla tego przypadku, gdy:

$n=0$  

Wówczas:

${\lambda }_0=\frac{2d}{2\cdot 0+1}$ 

 ${\lambda }_0=\frac{2d}{1}$

${\lambda }_0=2d$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\lambda }_0=2\cdot 2\mathrm{m}=4\mathrm{m}$

▶ Szukamy kolejnej długości fali, czyli dla:

$n=1$

Wówczas otrzymamy:

${\lambda }_1=\frac{2d}{2\cdot 1+1}$

${\lambda }_1=\frac{2d}{2+1}$

${\lambda }_1=\frac{2}{3}d$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\lambda }_1=\frac{2}{3}\cdot 2\mathrm{m}=\frac{4}{3}\mathrm{m}$

▶ Drugą z kolei, szukaną długość fali otrzymamy dla:

 $n=2$

Zatem:

 ${\lambda }_2=\frac{2d}{2\cdot 2+1}$

${\lambda }_2=\frac{2d}{4+1}$

${\lambda }_2=\frac{2}{5}d$

Obliczamy wartość:

${\lambda }_2=\frac{2}{5}\cdot 2\mathrm{m}=\frac{4}{5}\mathrm{m}$ 

Odpowiedź: Największa możliwa wartość długości fali będzie wynosiła 4 m. Kolejna wynosi 4/3 m, a następna 4/5 m.

 

$\mathrm{1.2.}$  

Szukane:

$x_1=?$

$x_2=?$

Rozwiązanie:

Punkt P znajduje się na symetralnej odcinka łączącego głośniki, czyli mamy tam pierwsze wzmocnienie. Eksperymentator oddala się od punktu P idąc równolegle do odcinka łączącego głośniki. Szukamy drogi, jaką przebędzie gdy:

▶ natężenie dźwięku jest minimalne - $x_1$, 

▶ natężenie dźwięku ponownie jest maksymalne - $x_2$. 

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

gdzie:

$d$ - odległość pomiędzy głośnikami, 

$L$ - odległość pomiędzy środkiem odcinka łączącego głośniki, a punktem P,

$x_1$ - droga przebyta przez eksperymentatora z punktu P do punktu, gdzie natężenie dźwięku jest minimalne, 

$x_2$ - droga przebyta przez eksperymentatora z punktu P do punktu, gdzie natężenie dźwięku ponownie jest maksymalne, 

${\theta }_1$ - kąt przy jakim występuje minimalne natężenie dźwięku (pierwsze wygaszenie),

${\theta }_2$ - kąt przy jakim występuje kolejne wzmocnienie dźwięku, 

$r_1$ - odległość pomiędzy środkiem odcinka łączącego głośniki, a punktem gdzie natężenie dźwięku jest minimalne.

$r_2$ - odległość pomiędzy środkiem odcinka łączącego głośniki, a punktem gdzie natężenie dźwięku ponownie jest maksymalne.

W przypadku wygaszenia fali spełniona jest zależność:

$\sin \theta =\left(n+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{d}$  

gdzie:

$\theta$ - kąt, przy jakim następuje wygaszenie fali, 

$d$ - odległością pomiędzy źródłami fali,  

$\lambda$ - długość fali,  

$n=0,1,2,3,\dots$ - rząd wygaszenia (liczby naturalne) .

Oznacza to, że dla naszego przypadku, gdy natężenie dźwięku jest minimalne, czyli następuje wygaszenie, otrzymamy zależność:

 $\sin {\theta }_1=\left(0+\frac{1}{2}\right)\frac{\lambda }{d}$

$\sin {\theta }_1=\frac{1}{2}\frac{\lambda }{d}$

Znamy tutaj częstotliwość dźwięku oraz wiemy, z jaką szybkością porusza się on w powietrzu.  Długość fali akustycznej możemy przedstawić wzorem:

$\lambda =\frac{v}{f}$ 

gdzie:

$\lambda$ - długość fali,

$v$ - wartość prędkości, z jaką rozchodzi się fala,

$f$ - częstotliwość rozchodzącej się fali.

Z rysunku wynika, że sinus kąta, przy jakim następuje wygaszenie fali możemy przedstawić wzorem:

$\sin {\theta }_1=\frac{x_1}{r_1}$

Natomiast z twierdzenia Pitagorasa mamy, że:

$L^2+x_1^2=r_1^2|\sqrt{}$

$\sqrt{L^2+x_1^2}=r_1^{}$

Z powyższych zależności możemy wyznaczyć drogą, jaką przebył eksperymentator do miejsca, gdzie natężenie dźwięku jest minimalne:

$\sin {\theta }_1=\frac{1}{2}\frac{\lambda }{d}$

$\frac{x_1}{r_1}=\frac{1}{2}\frac{\lambda }{d}$

$\frac{x_1}{\sqrt{L^2+x_1^2}}=\frac{1}{2}\frac{\lambda }{d}|{}^2$

$\frac{x_1^2}{L^2+x_1^2}=\frac{1}{4}\frac{{\lambda }^2}{d^2}$

$\frac{x_1^2}{L^2+x_1^2}=\frac{1}{4}\frac{{\left(\frac{v}{f}\right)}^2}{d^2}$

 $\frac{x_1^2}{L^2+x_1^2}=\frac{1}{4}\frac{v^2}{d^2{f}^2}|\cdot 4d^2{f}^2\left(L^2+x_1^2\right)$

$4d^2{f}^2{x}_1^2=v^2\left(L^2+x_1^2\right)$

$4d^2{f}^2{x}_1^2=v^2{L}^2+v^2{x}_1^2|-v^2{x}_1^2$

$4d^2{f}^2{x}_1^2-v^2{x}_1^2=v^2{L}^2$

$\left(4d^2{f}^2-v^2\right)x_1^2=v^2{L}^2|:\left(4d^2{f}^2-v^2\right)$

$x_1^2=\frac{v^2{L}^2}{4d^2{f}^2-v^2}|\sqrt{}$

$x_1=\sqrt{\frac{v^2{L}^2}{4d^2{f}^2-v^2}}$

$x_1=\frac{vL}{\sqrt{4d^2{f}^2-v^2}}$ 

 Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x_1=\frac{340\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot 40\mathrm{m}}{\sqrt{4\cdot {\left(680\mathrm{Hz}\right)}^2\cdot {\left(2\mathrm{m}\right)}^2-{\left(340\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}}=$

$=\frac{13600\frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{s}}}{\sqrt{4\cdot 462400{\mathrm{Hz}}^2\cdot 4{\mathrm{m}}^2-115600\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}}=$

$=\frac{13600\frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{s}}}{\sqrt{4\cdot 462400\frac{1}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 4{\mathrm{m}}^2-115600\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}}=$

$=\frac{13600\frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{s}}}{\sqrt{7398400\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}-115600\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}}=$

$=\frac{13600\frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{s}}}{\sqrt{7282800\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}}\approx \frac{13600\frac{{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{s}}}{2698,7\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\approx$

$\approx 5,039\mathrm{m}\approx 5,0\mathrm{m}$

Następnie rozważamy drogę przebytą przez eksperymentatora do kolejnego punktu, w którym natężenie dźwięku będzie maksymalne czyli wzmocnione. W przypadku wzmocnienia fali spełniona jest zależność:

$\sin \theta =\frac{n\lambda }{d}$ 

gdzie: 

$\theta$ - kąt, przy jakim następuje wzmocnienie fali, 

$d$ - odległością pomiędzy źródłami fali,  

$\lambda$ - długość fali,  

$n=0,1,2,3,\dots$ - rząd wzmocnienia (liczby naturalne) .

Zatem dla naszego przypadku otrzymamy:

$\sin {\theta }_2=\frac{1\cdot \lambda }{d}$

$\sin {\theta }_2=\frac{\lambda }{d}$

Z rysunku wynika, że wówczas sinus kąta wzmocnienia ma postać:

$\sin {\theta }_2=\frac{x_2}{r_2}$

Natomiast z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:

$L^2+x_2^2=r_2^2|\sqrt{}$

$\sqrt{L^2+x_2^2}=r_2$

Z powyższych zależności wynika zatem, że:

$\sin {\theta }_2=\frac{\lambda }{d}$

$\frac{x_2}{r_2}=\frac{\lambda }{d}$ 

$\frac{x_2}{\sqrt{L^2+x_2^2}}=\frac{\frac{v}{f}}{d}$

$\frac{x_2}{\sqrt{L^2+x_2^2}}=\frac{v}{df}|{}^2$

$\frac{x_{{}^{}2}^2}{L^2+x_2^2}=\frac{v^2}{d^2{f}^2}|\cdot d^2{f}^2\left(L^2+x_2^2\right)$

$d^2{f}^2{x}_2^2=v^2\left(L^2+x_2^2\right)$

$d^2{f}^2{x}_2^2=v^2{L}^2+v^2{x}_2^2|-v^2{x}_2^2$

$d^2{f}^2{x}_2^2-v^2{x}_2^2=v^2{L}^2$

$\left(d^2{f}^2-v^2\right)x_2^2=v^2{L}^2|:\left(d^2{f}^2-v^2\right)$

$x{}_2^2=\frac{v^2{L}^2}{d^2{f}^2-v^2}|\sqrt{}$

$x_2=\sqrt{\frac{v^2{L}^2}{d^2{f}^2-v^2}}$ 

 $x_2=\frac{vL}{\sqrt{d^2{f}^2-v^2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x_2=\frac{340\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 40\text{m}}{\sqrt{{\left(680\text{Hz}\right)}^2\cdot {\left(2\text{m}\right)}^2-{\left(340\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}}=$  

$=\frac{13600\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{\sqrt{462400\frac{1}{{\text{s}}^2}\cdot 4{\text{m}}^2-115600\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}=$  

$=\frac{13600\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{\sqrt{1849600\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-115600\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}=$  

$=\frac{13600\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{\sqrt{1734000\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}\approx \frac{13600\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{1317\frac{\text{m}}{\text{s}}}\approx$  

$\approx 10,3265\text{m}\approx 10,3\text{m}$  

Odpowiedź: Eksperymentator, do punktu, gdzie natężenie dźwięku będzie minimalne, pokona drogę równą około 5,0 m. Do punktu, w którym dźwięk ponownie będzie miał maksymalne wzmocnienie, eksperymentator musi pokonać drogę równą około 10,3 m.