TREŚĆ:

Zadanie 6

Detekcja promieniowania jądrowego jest możliwa dzięki zdolności cząstek promieniowania do jonizacji materii. Na tej zasadzie działa licznik Geigera–Müllera, który jest zbudowany ze szklanego cylindra i umieszczonej w nim rurki metalowej (katoda) oraz odizolowanego od niej cienkiego drutu znajdującego się na osi rurki (anoda). Cylinder wypełniony jest mieszaniną gazów pod niskim ciśnieniem. Atomy gazu ulegają jonizacji pod wpływem promieniowania jądrowego.

Zadanie 6.4

Oblicz prędkość, jaką osiągnie początkowo spoczywający elektron przyspieszony w próżni napięciem $500\mathrm{V}$. Pomiń efekty relatywistyczne.

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$U=500\text{V}=5\cdot 10^2\text{V}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość ładunku elementarnego: $e=1,6\cdot 10^{-19}\text{C}$,

▶  masa spoczynkowa elektronu: $m_e=9,11\cdot 10^{-31}\text{kg}$.

Szukane:

$v=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości, jaką osiągnie początkowo spoczywający elektron, który został przyspieszony w próżni pod wpływem napięcia $500\text{V}$. 

Elektron jest rozpędzany w polu elektrycznym. Praca pola elektrycznego spowoduje wzrost energii kinetycznej cząstki. Zapiszemy więc:

$W=\Delta E_k$

gdzie:

$W$ - praca pola elektrycznego,

$\Delta E_k$ - zmiana energii kinetycznej.

Zmianę energii kinetycznej wyrazimy jako:

$\Delta E_k=E_{k.1}-E_{k.0}$

gdzie:

$E_{k.0}$ - początkowa energia kinetyczna,

$E_{k.1}$ - końcowa energia kinetyczna.

Zgodnie z treścią zadania mamy pominąć efekty relatywistyczne, zatem zapiszemy wzór na energię kinetyczną w mechanice klasycznej.

ENERGIA KINETYCZNA Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru: $E_k=\frac{m{v}^2}{2}$ gdzie: $E_k$ - energia kinetyczna ciała,  $m$ - masa ciała,  $v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

Stąd:

$E_{k.0}=0$

$E_{k.1}=\frac{m{v}^2}{2}$

Wówczas:

$\Delta E_k=\frac{m{v}^2}{2}-0$

$\Delta E_k=\frac{m{v}^2}{2}$

PRACA W POLU ELEKTRYCZNYM Pracę wykonaną przy przenoszeniu ładunku w polu elektrycznym o podanym napięciu (różnicy potencjałów) możemy obliczyć za pomocą zależności: $W=qU$ gdzie: $W$ - praca wykonana przy przenoszeniu ładunku w polu elektrycznym, $q$ - wartość przenoszonego ładunku, $U$ - napięcie pola elektrycznego (różnica potencjałów pomiędzy dwoma punktami pola).

Mamy więc:

$W=\Delta E_k$

$qU=\frac{m{v}^2}{2}$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na wartość prędkości ciała:

$\frac{m{v}^2}{2}=qU|\cdot 2$

$m{v}^2=2qU|:m$

$v^2=\frac{2qU}{m}|\sqrt{}$

$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$

Rozważamy elektron, którego ładunek ma wartość równą wartości ładunki elementarnego:

$q=e$

Natomiast masę oznaczamy poprzez $m_e$. Zapiszemy więc:

$v=\sqrt{\frac{2eU}{m_e}}$

Podstawiamy dane do wzoru i obliczamy szukaną wartość prędkości:

$v=\sqrt{\frac{2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}\text{C}\cdot 5\cdot 10^2\text{V}}{9,11\cdot 10^{-31}\text{kg}}}=$

$=\sqrt{\frac{2\cdot 1,6\cdot 5}{9,11}\cdot \frac{10^{-19}\cdot 10^2}{10^{-31}}\frac{\text{C}\cdot \text{V}}{\text{kg}}}=$

$=\sqrt{\frac{3,2\cdot 5}{9,11}\cdot \frac{10^{-17}}{10^{-31}}\frac{\cancel{\text{C}}\cdot \frac{\text{J}}{\cancel{\text{C}}}}{\text{kg}}}=$

$=\sqrt{\frac{16}{9,11}\cdot 10^{14}\frac{\text{J}}{\text{kg}}}=$

$\approx \sqrt{1,756\cdot 10^{14}\frac{\text{N}\cdot \text{m}}{\text{kg}}}=$

$\approx \sqrt{1,756}\cdot \sqrt{10^{14}}\sqrt{\frac{\cancel{\text{kg}}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \text{m}}{\cancel{\text{kg}}}}=$

$\approx 1,325\cdot 10^7\sqrt{\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 1,33\cdot 10^7\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: Wartość prędkości początkowo spoczywającego elektronu przyspieszanego tym napięciem wyniesie około $1,33\cdot 10^7\frac{\text{m}}{\text{s}}$.