Treść:

Do krawędzi stołu przymocowany jest blok nieruchomy, będący jednorodnym krążkiem o masie m₃, obracającym się bez tarcia. Przez blok przełożona jest bardzo lekka i nierozciągliwa linka, której jeden koniec doczepiony jest do skrzynki o masie m₁, a drugi – do skrzynki o masie m₂. Pierwsza skrzynka leży na stole, a druga wisi na lince (rys. poniżej).

Współczynnik tarcia pierwszej skrzynki o stół oznaczamy jako μ (bez rozróżnienia współczynników tarcia statycznego i kinetycznego). Moment bezwładności jednorodnego krążka (lub walca) względem jego osi wyraża się wzorem

$\text{I}=\frac{1}{2}{\text{mR}}^2$  
gdzie R jest promieniem krążka, a m – jego masą. W chwili początkowej obie skrzynki były nieruchome. 

Blok zastąpiono innym – o tej samej masie i promieniu, ale cieńszym bliżej osi, a grubszym na obrzeżu. Oba bloki są wykonane z jednorodnego materiału, a obok zostały przedstawione w przekroju. Określ, czy zastąpienie bloku 1 przez blok 2 spowodowało wzrost przyspieszenia układu, czy spadek, czy też przyspieszenie się nie zmieniło. Uzasadnij odpowiedź.

---

Rozwiązanie:

Większa część masy bloku 2 znajduje się dalej od osi obrotu niż w przypadku bloku 1. Oznacza to, że moment bezwładności bloku 2 jest większy od momentu bezwładności bloku 1:

$I_1<I_2$  

Zgodnie z II zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego wiemy, że przyspieszenie kątowe bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$\epsilon =\frac{M}{I}$  

gdzie:

$\epsilon$   - przyspieszenie kątowe,

$M$   - moment siły,

$I$   - moment bezwładności.

 

Na blok 1 i blok 2 działa taki sam moment siły wynikający z ruchu skrzyń. Ponieważ przyspieszenie kątowe jest odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności, to zwiększenie się momentu bezwładności powoduje zmniejszenie się przyspieszenia kątowego. Oznacza to, że:

${\epsilon }_1>{\epsilon }_2$  

Przyspieszenie kątowe jest wprost proporcjonalne do przyspieszenia liniowego, czyli:

$a_1>a_2$  

Ponieważ moment bezwładności ciała zwiększył się, to przyspieszenie układu zmalało.