TREŚĆ:

Zadanie 10.

Rozgrzana stalowa kulka o promieniu $2\text{cm}$ i masie $260\text{g}$, położona na poziomej tafli lodu o temperaturze $0^{\circ }\text{C}$ i grubości $3\text{cm}$, roztopiła lód w miejscu zetknięcia i przeszła na drugą stronę tafli.

Oszacuj minimalną początkową temperaturę kulki, dla której było to możliwe.

W obliczeniach przyjmij ciepło właściwe stali równe $460\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$  , ciepło topnienia lodu równe   $335000\frac{\text{J}}{\text{kg}}$  oraz gęstość lodu wynoszącą  $0,9\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$  .

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$R=2\text{cm}=0,02\text{m}$  

$m=260\text{g}=0,26\text{kg}$  

$t_0=0^{\circ }\text{C}$, czyli $T_0=273\text{K}$

$x=3\text{cm}=0,03\text{m}$

$c=460\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$

$L=335000\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot \text{K}}$

$d=0,9\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}=900\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$ .

Szukane:

$T_0=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest oszacowanie minimalnej początkowej temperatury kulki. W tym procesie stalowa kulka oddaje ciepło, a lód je pobiera i topi się. Zatem minimalną temperaturę kulki określa przypadek, gdy ciepło oddane przez stalową kulkę jest co najmniej równe lub większe od ciepła pobranego przez lód:

$Q_s\ge Q_t$

gdzie:

$Q_s$ - ciepło oddane przez stalową kulkę, 

$Q_t$ - ciepło pobrane przez lód. 

Ciepło właściwe substancji możemy przedstawić wzorem:

CIEPŁO WŁAŚCIWE $c_w=\frac{Q}{m\Delta T}$ gdzie:  $c_w$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,  $Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,  $m$ - masa ciała, $\Delta T$ - zmiana temperatury ciała.

W naszym przypadku stalowa kulka oddając ciepło zmienia swoją temperaturę. Kulka musi oddać ca najmniej tyle ciepła, aby móc roztopić lód. Dlatego jej końcowa temperatura może co najwyżej być równa temperaturze lodu.  

Ponieważ mamy do czynienia z ciepłem oddanym i kulka wychładza się, to zmianę temperatury kulki możemy określić jako różnicę pomiędzy temperaturą początkową kuli i temperaturą końcową:

$\Delta T=T_k-T_0$

gdzie:

$T_k$ - temperatura początkowa kulki (szukana), 

$T_0$ - temperatura końcowa kulki, która odpowiada temperaturze lodu. 

Znamy masę kulki oraz ciepło właściwe stali. W takim przypadku ciepło oddane przez stalową kulkę przedstawimy wzorem:

$\frac{Q_s}{m\Delta T}=c|\cdot m\Delta T$

$Q_s=mc\Delta T$

$Q_s=mc\left(T_k-T_0\right)$

gdzie:

$m$ - masa stalowej kulki, 

$c$ - ciepło właściwe stalowej kulki. 

Lód topił się w styczności z kulką. Ciepło przemiany fazowej możemy przedstawić wzorem:

CIEPŁO PRZEMIANY FAZOWEJ $L=\frac{Q}{m}$ gdzie: $L$ - ciepło pobrane przy topnieniu/parowaniu lub krzepnięciu/skraplaniu, $Q$ - pobrane lub oddane ciepło, $m$ - masa ciała.

W naszym przypadku otrzymamy, że ciepło pobrane przez lód, potrzebne do jego stopienia ma postać:

$\frac{Q_t}{m_{\text{loˊd}}}=L$

gdzie:

$Q_t$ - ciepło pobrane przez lód w czasie roztapiania, 

$m_{\text{loˊd}}$ - masa roztopionego lodu. 

Nie znamy masy lodu, ale znamy jego gęstość. Korzystając z definicji gęstości możemy zapisać, że:

$d=\frac{m_{\text{loˊd}}}{V}$

gdzie:

$d$ - gęstość lodu, 

$V$ - objętość roztopionego lodu. 

Zauważmy, że kulka przechodząca przez taflę lodu wytopi w niej następujący kształt:

gdzie:

$R$ - promień kuli, 

$x$ - grubość tafli lodu odpowiadająca wysokości walca, który został wytopiony w tafli. 

Pole podstawy wytopionego w tafli lodu walca jest kołem i ma powierzchnię:

$P_{\text{podstawy}}=\pi R^2$

Wówczas objętość bryły, która jest iloczynem pola podstawy i wysokości tej bryły ma postać:

$V=P_{\text{podstawy}}x$

$V=\pi R^{2}x$

Oznacza to, że masa lodu wynosi:

$\frac{m_{\text{loˊd}}}{V}=d|\cdot V$

$m_{\text{loˊd}}=Vd$

$m_{\text{loˊd}}=\pi R^{2}xd$

Zatem ciepło pobrane ze stalowej kulki przez lód w czasie topnienia będzie miało postać:

$\frac{Q_t}{m_{\text{loˊd}}}=L|\cdot m_{\text{loˊd}}$

$Q_t=m_{\text{loˊd}}L$

$Q_t=\pi R^{2}xdL$

Korzystając z warunku początkowego wyznaczmy nierówność, która pozwoli nam określić minimalną temperaturę początkową stalowej kulki:

$Q_s\ge Q_t$

$mc\left(T_k-T_0\right)\ge \pi R^{2}xdL|:mc$

$T_k-T_0\ge \frac{\pi R^{2}xdL}{mc}|+T_0$

$T_k\ge \frac{\pi R^{2}xdL}{mc}+T_0$

Obliczmy wielkość liczbową po prawej stronie nierówności:

$\frac{\pi R^{2}xdL}{mc}+T_0=\frac{3,14\cdot {\left(0,02\text{m}\right)}^2\cdot 0,03\text{m}\cdot 900\frac{\cancel{\text{kg}}}{{\text{m}}^3}\cdot 335000\frac{\text{J}}{\cancel{\text{kg}}}}{0,26\cancel{\text{kg}}\cdot 460\frac{\text{J}}{\cancel{\text{kg}}\cdot \text{K}}}+273\text{K}=$

$=\frac{3,14\cdot 0,0004\cancel{{\text{m}}^2}\cdot 0,03\cancel{\text{m}}\cdot 900\frac{1}{\cancel{{\text{m}}^3}}\cdot 335000\text{J}}{119,6\frac{\text{J}}{\text{K}}}+273\text{K}=$

$=\frac{11360,52\cancel{\text{J}}}{119,6\frac{\cancel{\text{J}}}{\text{K}}}+273\text{K}\approx 95\text{K}+273\text{K}=368\text{K}$

Zatem:

$T_k\ge 368\text{K}$

Zamieńmy temperaturę z kelwinów na stopnie Celsjusza:

$t_k\ge {\left(368-273\right)}^{\circ }\text{C}$

$t_k\ge 95^{\circ }\text{C}$

Odpowiedź: Minimalna początkowa temperatura kuli wynosi około $368\mathrm{K}$, czyli $95^{\circ }\mathrm{C}$.