TREŚĆ:

Zadanie 1.

Podczas prób testowych kierowca samochodu, jadący po poziomym prostym torze z prędkością $50\frac{\text{km}}{\text{h}}$, rozpoczął hamowanie bez poślizgu ze stałym opóźnieniem i zatrzymał się po przebyciu $12\text{m}$. Czas reakcji kierowcy pomijamy, a ponadto przyjmujemy, że współczynnik tarcia statycznego opon o jezdnię jest większy od współczynnika tarcia kinetycznego tych opon o jezdnię.

Zadanie 1.3.

W kolejnej próbie samochód jadący z prędkością początkową $60\frac{\text{km}}{\text{h}}$ rozpoczął hamowanie z opóźnieniem takim samym jak poprzednio i po przejechaniu $12\text{m}$ uderzył w przeszkodę.

Oblicz, z jaką prędkością samochód uderzył w przeszkodę.

---

ROZWIĄZANIE:

Dane:

$v_1=50\frac{\text{km}}{\text{h}}$  

$v_2=60\frac{\text{km}}{\text{h}}$   

$s=12\text{m}$

Szukane:

$v_3=?$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie wartości prędkości z jaką samochód uderzył w przeszkodę. Ta sytuacja może zostać podzielona na dwa przypadki, pierwszy gdy samochód hamuje od szybkości początkowej o wartości $v_1$ i zatrzymuje się po przebiciu drogi równej $12\text{m}$. Druga sytuacja, gdy samochód w kolejnej próbie hamuje od szybkości początkowej $v_2$ i po przejechaniu $12\text{m}$ uderza w przeszkodę z pewną szukaną przez nas szybkością $v_3$.

Wiemy z treści zadania, że samochód w drugiej próbie rozpoczął hamowanie z opóźnieniem takim samym jak poprzednio, co oznacza, że siły oporów ruchu działające na ten samochód są takie same w obu przypadkach. Wiemy również, że w obu przypadkach samochód pokonuje taką samą drogę w czasie hamowania. Oznacza to, że w przypadku zatrzymania się tego samochodu, jak i gdy uderza on w przeszkodę wykonana została taka sama praca. Samochód zmienia swoją szybkość, ale skoro porusza się po poziomym torze ruchu to nie zmienia się środek ciężkości tego samochodu. Oznacza to, że w takim przypadku zmianie ulega energia kinetyczna samochodu. 

Dla przypadku, gdy samochód się zatrzymuje otrzymamy:

$W=E_{k0}-E_{k1}$

gdzie:

$W$ - praca wykonana przez siły oporów ruchu działające na samochód, 

$E_{k0}$ - końcowa energia kinetyczna samochodu, gdy zatrzymał się po pokonaniu podanej drogi, 

$E_{k1}$ - energia kinetyczna samochodu na początku ruchu hamującego.

Skorzystamy z wzoru na energię kinetyczną ruchu postępowego:

ENERGIA KINETYCZNA RUCHU POSTĘPOWEGO $E_{kin}=\frac{1}{2}m{v}^2$ gdzie: $E_k$ - energia kinetyczna ciała,  $m$ - masa ciała,  $v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

Ponieważ samochód zatrzymuje się na końcu ruchu to wówczas jego energia kinetyczna jest zerowa:

$E_{k0}=0$

Początkową energię kinetyczną samochodu przedstawimy wzorem:

$E_{k1}=\frac{1}{2}m{v}_1^2$

gdzie:

$m$ - masa samochodu,

$v_1$ - początkowa szybkość z jaką porusza się samochód, który zatrzymuje się na końcu ruchu.

W przypadku gdy samochód uderza w przeszkodę pracę jaką wykonał przedstawimy wzorem:

$W=E_{k3}-E_{k2}$

gdzie:

$E_{k3}$ - końcowa energia kinetyczna samochodu, gdy uderza w przeszkodę, 

$E_{k2}$ - początkowa energia kinetyczna samochodu w tym ruchu.

Energię kinetyczną, gdy samochód uderza w przeszkodę przedstawimy wzorem:

$E_{k3}=\frac{1}{2}m{v}_3^2$

gdzie:

$v_3$ - szukana wartość prędkości samochodu, z jaką uderza w przeszkodę.

Energię kinetyczną na początku ruchu samochodu przedstawimy wzorem:

$E_{k2}=\frac{1}{2}m{v}_2^2$

gdzie:

$v_2$ - szybkość samochodu na początku ruchu, w którym uderza w przeszkodę.

Otrzymaliśmy dwa wzory, za pomocą których możemy obliczyć pracę:

$W=E_{k0}-E_{k1}$

$W=E_{k3}-E_{k2}$

Porównajmy te wzory i wyznaczmy ostatecznie szybkość, z jaką samochód uderzy w przeszkodę:

$E_{k3}-E_{k2}=E_{k0}-E_{k1}$

$\frac{1}{2}m{v}_3^2-\frac{1}{2}m{v}_2^2=0-\frac{1}{2}m{v}_1^2$

$\cancel{\frac{1}{2}m}{v}_3^2-\cancel{\frac{1}{2}m}{v}_2^2=-\cancel{\frac{1}{2}m}{v}_1^2$

$v_3^2-v_2^2=-v_1^2|+v_2^2$

$v_3^2=v_2^2-v_1^2|\sqrt{}$

$v_3=\sqrt{v_2^2-v_1^2}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_3=\sqrt{{\left(60\frac{\text{km}}{\text{h}}\right)}^2-{\left(50\frac{\text{km}}{\text{h}}\right)}^2}=$

$=\sqrt{3600\frac{{\text{km}}^2}{{\text{h}}^2}-2500\frac{{\text{km}}^2}{{\text{h}}^2}}=$

$=\sqrt{1100\frac{{\text{km}}^2}{{\text{h}}^2}}\approx 33\frac{\text{km}}{\text{h}}$

Odpowiedź: Samochód uderzył w przeszkodę z prędkością o wartości około $33\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.