TREŚĆ:

Zadanie 5.

Uczniowie zamierzali wyznaczyć gęstość $\rho$ pewnej cieczy. Mieli do dyspozycji piasek, szklane naczynie ze skalą objętości, mniejszy pojemnik (zobacz rys. 1.) oraz wagę. Masę mniejszego pustego pojemnika oznaczymy jako $m_p$. Do szklanego naczynia uczniowie wlali badaną ciecz o objętości $V_0$, a do pojemnika wsypali porcję piasku. Następnie pojemnik umieścili w naczyniu z cieczą tak, aby pływał (zobacz rys. 2.). W kolejnych etapach doświadczenia uczniowie dosypywali do pojemnika piasek, a pojemnik wciąż pływał. Całkowita masa piasku $m_x$ w pojemniku była znana, ponieważ uczniowie za każdym razem ważyli porcję dosypywanego piasku. Po dosypaniu piasku uczniowie odczytywali na skali objętość $V$, jaką zajmuje ciecz razem z zanurzoną częścią pojemnika z piaskiem. Objętość $V_z$ zanurzonej części mniejszego pojemnika uczniowie wyznaczali po odjęciu objętości cieczy $V_0$ od objętości $V$. 

Wyniki pomiarów przeprowadzonych podczas doświadczenia przedstawiono na poniższym wykresie. Zaznaczono punkty pomiarowe $\left(m_x;V_z\right)$ oraz niepewności $\Delta V_z$. Pomiary masy piasku $m_x$ przyjęto za dokładne.

Uczniowie uznali, że zależność między objętością $V_z$ zanurzonej części pojemnika z piaskiem a masą piasku $m_x$ w tym pojemniku jest liniowa, czyli że opisuje ją wyrażenie:

$V_z=A\cdot m_x+B$   dla pewnych współczynników A i B.

Zadanie 5.2

$\mathbf{a})$ Zapisz warunek równowagi sił działających na pływający pojemnik z piaskiem i wyraź zapisany warunek za pomocą wielkości wymienionych w treści zadania 5.

$\mathbf{b})$ Wyprowadź dwa wzory: wzór przedstawiający zależność współczynnika A od gęstości cieczy $\rho$ oraz wzór przedstawiający zależność współczynnika B od gęstości cieczy $\rho$ i masy pustego pojemnika $m_p$.

$\mathbf{b})$ Oblicz gęstość cieczy $\rho$. Przyjmij, że współczynnik A wynosi $1,2\frac{{\text{cm}}^3}{\text{g}}$.

---

ROZWIĄZANIE:

$\mathbf{a})$

Naszym zadaniem jest zapis równowagi sił oddziałujących na pojemnik zanurzony w cieczy. Rozważmy siły, które działają na układ i wyznaczmy warunek równoważenia się sił.

Równoważnie się sił

Rozważamy układ składający się z pustego pojemnika, do którego wsypujemy piasek, a cały pojemnik (wraz z piaskiem) pływa w pewnej cieczy. Na pusty pojemnik oraz na piasek działa siła ciężkości zwrócona pionowo w dół. Zapiszemy:

• siła ciężkości ${\vec{F}}_p$ działająca na pusty pojemnik zwrócona pionowo w dół,
• siła ciężkości ${\vec{F}}_x$ działająca na piasek w pojemniku zwrócona pionowo w dół.

Na pojemnik z piaskiem, który pływa w cieczy, działa siła wyporu cieczy ${\vec{F}}_{\text{w}}$ skierowana pionowo w górę. Wówczas, warunek na równoważenie się sił w postaci wektorowej, przyjmie postać:

${\vec{F}}_p+{\vec{F}}_x+{\vec{F}}_{\text{w}}=0$

Zauważmy jednak, że siły te mają ten sam kierunek (pionowy), ale różne zwroty. Uwzględniając więc zwroty tych sił, zapiszemy, że warunek równoważenia się sił ma postać: