Treść:

Skwantowanie wielkości fizycznych w modelu Bohra opisującym budowę atomu wodoru można zapisać wzorami na prędkość elektronu, jego energię kinetyczną lub energię całkowitą. Skwantowanie oznacza, że dana wielkość fizyczna może przyjmować wyłącznie określone wartości liczbowe, w zależności od liczby naturalnej n.

Uzupełnij tabelę: wstaw w zakropkowane miejsce w środkowej kolumnie wyrażenie zawierające n, a w wolnych miejscach prawej kolumny wpisz określenia zmiany (rośnie, maleje lub nie zmienia się).

---

 Uzasadnienie: 

Zgodnie z treścią w tabelce mamy, że prędkość elektronu na n-tej orbicie jest proporcjonalna do:

$v\text{~}\frac{1}{n}$  

Zatem ze zwiększającą się wartością numeru orbity wartość prędkości takiego elektronu będzie maleć.

 

Energię kinetyczną opisuje wzór:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$m$  - masa ciała,

$v$  - wartość prędkości ciała.

Jeżeli więc prędkość elektronu:

$v\text{~}\frac{1}{n}$  

a energia kinetyczna jest proporcjonalna do:

$E_k\text{~}{v}^2$  

to energia kinetyczna jest zależna od n:

$E_k\text{~}{\left(\frac{1}{n}\right)}^2$  

$E_k\text{~}\frac{1}{n^2}$  

Zatem jeżeli numer orbity będzie rosnąc to energia kinetyczna będzie maleć.

 

Energia całkowita elektronu na danej orbicie, przykładowo dla atomu wodoru, opisuje wzór:

$E_n=\frac{-13,6\text{eV}}{n^2}$  

gdzie:

$n$  - numer orbity.

Zauważmy, że dla kolejnej orbity energia ta będzie dana wzorem:

$E_{n+1}=\frac{-13,6\text{eV}}{{\left(n+1\right)}^2}$  

Zatem:

$\frac{E_{n+1}}{E_n}=\frac{\frac{-13,6\text{eV}}{n^2}}{\frac{-13,6\text{eV}}{{\left(n+1\right)}^2}}$   

$\frac{E_{n+1}}{E_n}=\frac{-13,6\text{eV}}{n^2}\cdot \frac{{\left(n+1\right)}^2}{-13,6\text{eV}}$   

$\frac{E_{n+1}}{E_n}=\frac{{\left(n+1\right)}^2}{n^2}$   

$\frac{E_{n+1}}{E_n}=\frac{n^2+2n+1}{n^2}$   

$\frac{E_{n+1}}{E_n}=\frac{n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}+\frac{1}{n^2}$   

$\frac{E_{n+1}}{E_n}=1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}$   

Przykładowo rozważmy stan:

$n=1$  

oraz stan następny:

$n+1=2$  

Mamy więc:

$E_1=\frac{-13,6\text{eV}}{1^2}=-13,6\text{eV}$  

$E_2=\frac{-13,6\text{eV}}{2^2}=\frac{-13,6\text{eV}}{4}=-3,4\text{eV}$  

Widzimy więc, że energia drugiego poziomu jest większa od energii elektronu na pierwszym stanie:

$E_2\text{>}{E}_1$  

$\frac{E_{1+1}}{E_1}=1+\frac{2}{1}+\frac{1}{1^2}$   

$\frac{E_2}{E_1}=1+2+1$   

$\frac{E_2}{E_1}=4$   

Stąd zależność  $\frac{1}{n^2}$  oraz rosnąca zależność (we wzorze występuje minus). 

 Odpowiedź: 

Uzupełniamy tabelę: