$\mathbf{a})$

Mamy równanie:

$x\left(t\right)=2+6t+1,5t^2$

W ogólnym przypadku zależność położenia od czasu dla ruchu jednostajnie przyspieszonego (opóźnionego) ma postać:

$x\left(t\right)=x_0\pm v_{0}t\pm \frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$x\left(t\right)$ - położenie ciała w danym czasie, 

$t$ - czas, w którym rozważamy położenie danego ciała, 

$x_0$ - położenie początkowe ciała w rozważanym układzie, 

$v_0$ - szybkość początkowa ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim ciało się porusza. 

Znak plus lub minus zależy od tego, czy zwrot prędkości początkowej i przyspieszenia jest zgodny ze zwrotem osi, czy przeciwny do niej. Wiemy, że droga jest wyrażona w metrach, a czas w sekundach. Wówczas:

▶ położenie początkowe ciała w rozważanym układzie

$x_0=2\mathrm{m}$

▶ wartość prędkości początkowej ciała

$v_0=6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

▶ wartość przyspieszenia ciała

$\frac{1}{2}a=1,5\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}|\cdot 2$

$a=3\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Ostatecznie możemy zapisać całe równanie:

$x\left(t\right)=2\mathrm{m}+6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot t+1,5\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot t^2$

 

$\mathbf{b})$  

Mamy równanie:

$x\left(t\right)=2+6t+1,5t^2$

W ogólnym przypadku zależność położenia od czasu dla ruchu jednostajnie przyspieszonego (opóźnionego) ma postać:

$x\left(t\right)=x_0\pm v_{0}t\pm \frac{1}{2}a{t}^2$

gdzie:

$x\left(t\right)$ - położenie ciała w danym czasie, 

$t$ - czas, w którym rozważamy położenie danego ciała, 

$x_0$ - położenie początkowe ciała w rozważanym układzie, 

$v_0$ - szybkość początkowa ciała, 

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim ciało się porusza. 

Znak plus lub minus zależy od tego, czy zwrot prędkości początkowej i przyspieszenia jest zgodny ze zwrotem osi, czy przeciwny do niej. Wiemy, że droga jest wyrażona w metrach, a czas w sekundach.

Porównując te dwa równania wyciągamy wniosek, że:

Ciało porusza się z prędkością początkową 6 ^m/_s zwróconą zgodnie z osią, w którą ciało się porusza i przyspiesza z przyspieszeniem o wartości:

$\frac{1}{2}a=1,5\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}|\cdot 2$

$a=3\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

 

$\mathbf{c})$

• Na podstawie definicji $v_{\text{sˊr}}$

Średnia szybkość ruchu jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do całkowitego czasu ruchu:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

gdzie:

$\Delta s$ - całkowita droga jaką pokonało ciało,

$\Delta t$ - całkowity czas ruchu ciała.

Szukamy całkowitej drogi dla czasu:

$\Delta =4\mathrm{s}$

Droga jaką pokona ciało w ciągu 4 sekund obliczymy jako różnicę położenia ciała w czasie $t+4\mathrm{s}$ i w czasie $t$:

$\Delta s=x\left(t+4\mathrm{s}\right)-x\left(t\right)$

Wybór chwili $t$ jest dowolne dlatego dla ułatwienia wybierzemy chwilę $t=0$. Wówczas:

$\Delta s=x\left(4\right)-x\left(0\right)$

Zatem:

$x\left(0\right)=2+6\cdot 0+1,5\cdot 0=2+0+0=2$

$x\left(4\right)=2+6\cdot 4+1,5\cdot 4^2=2+24+1,5\cdot 16=2+24+24=50$

Pamiętamy, że położenie ciała jest dane w metrach, zatem:

$x\left(0\right)=2\mathrm{m}$

$x\left(4\right)=50\mathrm{m}$

Wówczas droga przebyta przez ciało w ciągu 4 s wynosi:

$\Delta s=x\left(4\right)-x\left(0\right)$

$\Delta s=50\mathrm{m}-2\mathrm{m}=48\mathrm{m}$

Wracamy do wzoru na szybkość średnią:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{48\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=12\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

 

• Na podstawie informacji, że w ruchu jednostajnie zmiennym $v_{\text{sˊr}}$ jest średnią arytmetyczną z szybkości początkowej i końcowej.

Zauważmy, że wartość prędkości ciała w ruchu jednostajnie przyspieszonym (opóźnionym) przedstawiamy wzorem:

$v\left(t\right)=v_0\pm at$

gdzie:

$v\left(t\right)$ - wartość prędkości ciała w chwili $t$,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia z jakim porusza się ciało,

$t$- czas, w którym rozważamy położenie danego ciała, 

Znak plus lub minus zależy od tego, czy zwrot prędkości początkowej i przyspieszenia jest zgodny ze zwrotem osi, czy przeciwny do niej.

Zgodnie z podaną informacją wartość prędkości średnie jest średnią arytmetyczną z szybkości początkowej i końcowej:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{v_p+v_k}{2}$

gdzie:

$v_{\text{sˊr}}$ - wartość prędkości średniej,

$v_p$ - wartość prędkości początkowej,

$v_k$ - wartość prędkości końcowej.

 Interesuje nas szybkość średnia po 4 sekundach ruchu. Zatem zapiszemy, że wartość prędkości początkowej ciała jest równa wartości prędkości ciała w chwili $t$, a wartość prędkości końcowej jest równa wartości prędkości w chwili $t+4\mathrm{s}$:

$v_p=v\left(t\right)$

$v_k=v\left(t+4\right)$

Wówczas:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{v(t)+v(t+4)}{2}$

Zauważmy, że wybór chwili $t$ jest dowolny i najłatwiejszym wyborem będzie chwila $t=0\mathrm{s}$:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{v(0)+v(0+4)}{2}$

$v_{\text{sˊr}}=\frac{v(0)+v(4)}{2}$

Z podanego równania w treści zadania wiemy, że:

$v_p=v_0$

$v_p=6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

oraz:

$a=3\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

Wówczas wzór na wartość prędkości ciała w tym ruchu opisuje wzór:

$v\left(t\right)=6+3t$

gdzie wartość prędkości jest podana w ^m/_s a czas w s. Zapisujemy więc:

$v\left(0\right)=6+3\cdot 0=6$

oraz:

$v\left(4\right)=6+3\cdot 4=6+12=18$

Pamiętamy, że wielkości te podane są w ^m/_s.

Wracamy do wzoru na wartość prędkości średniej:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{v(0)+v(4)}{2}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v_{\text{sˊr}}=\frac{6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+18\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}=\frac{24\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{2}=12\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$