Wykres przedstawia zależność współrzędnej przyspieszenia od czasu....- Zadanie Zadanie 5.20: Fizyka 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a)$

Naszym zadaniem jest narysowanie wykresu zależności współrzędnej prędkości od czasu. W zadaniu mamy przedstawiony wykres zależności współrzędnej przyspieszenia od czasu i z niego musimy odczytać potrzebne nam dane. Założenie, jakie należy poczynić to, że w początkowej chwili, gdy $t_{0} = 0$ współrzędna prędkości również jest zerowa:

$v_{0} = 0$

Z wykresu tego wynika, że ruch ciała możemy podzielić na sześć istotnych etapów.

▶ Etap 1: od 0 do 3 sekundy.

Początkowy i końcowy czas dla tego etapu wynosi:

$t_{0} = 0 s$

$t_{1} = 3 s$

Oznacza to, że zmiana czasu wynosi wówczas:

$Δ t_{1} = t_{1} - t_{0}$

$Δ t_{1} = 3 s - 0 s = 3 s$

Z wykresu wynika, że wartość współrzędnej przyspieszenia na tym etapie wynosi:

$a_{1} = 0 \frac{m}{s ^{2}}$

Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ - czas w jakim zmienia się szybkość.

Zmiana szybkości ciała będzie różnicą pomiędzy współrzędną szybkości końcową, a początkową dla tego ciała. Oznacza to, że:

$Δ v = v_{k} - v_{p}$

gdzie:

$v_{k}$ - współrzędna końcowa prędkości ciała,

$v_{p}$ - współrzędna początkowa prędkości ciała.

Zatem w ogólnym przypadku wartość współrzędnej prędkości ciała na końcu danego etapu przedstawimy wzorem:

$\frac{Δ v}{Δ t} = a ∣ \cdot Δ t$

$Δ v = a Δ t$

$v_{k} - v_{p} = a Δ t ∣ + v_{p}$

$v_{k} = v_{p} + a Δ t$

Zatem współrzędna prędkości końcowej dla pierwszego etapu w ruchu ciała ma postać:

$v_{1} = v_{0} + a_{1} Δ t_{1}$

Obliczamy wartość tej współrzędnej:

$v_{1} = 0 + 0 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 3 s = 0 \frac{m}{s}$

▶ Etap 2: od 3 do 9 sekundy.

Początkowy i końcowy czas dla tego etapu wynosi:

$t_{1} = 3 s$

$t_{2} = 9 s$

Oznacza to, że zmiana czasu wynosi wówczas:

$Δ t_{2} = t_{2} - t_{1}$

$Δ t_{2} = 9 s - 3 s = 6 s$

Z wykresu wynika, że wartość współrzędnej przyspieszenia na tym etapie wynosi:

$a_{2} = 1 \frac{m}{s ^{2}}$

Współrzędna prędkości końcowej dla drugiego etapu będzie wynosiła:

$v_{2} = v_{1} + a_{2} Δ t_{2}$

Obliczamy wartość tej współrzędnej:

$v_{2} = 0 + 1 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 6 s = 6 \frac{m}{s}$

▶ Etap 3: od 9 do 12 sekundy.

Początkowy i końcowy czas dla tego etapu wynosi:

$t_{2} = 9 s$

$t_{3} = 12 s$

Oznacza to, że zmiana czasu wynosi wówczas:

$Δ t_{3} = t_{3} - t_{2}$

$Δ t_{3} = 12 s - 9 s = 3 s$

Z wykresu wynika, że wartość współrzędnej przyspieszenia na tym etapie wynosi:

$a_{3} = 2 \frac{m}{s ^{2}}$

Współrzędna prędkości końcowej dla trzeciego etapu będzie wynosiła:

$v_{3} = v_{2} + a_{3} Δ t_{3}$

Obliczamy wartość tej współrzędnej:

$v_{3} = 6 \frac{m}{s} + 2 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 3 s = 6 \frac{m}{s} + 6 \frac{m}{s} = 12 \frac{m}{s}$

▶ Etap 4: od 12 do 15 sekundy.

Początkowy i końcowy czas dla tego etapu wynosi:

$t_{3} = 12 s$

$t_{4} = 15 s$

Oznacza to, że zmiana czasu wynosi wówczas:

$Δ t_{4} = t_{4} - t_{3}$

$Δ t_{4} = 15 s - 12 s = 3 s$

Z wykresu wynika, że wartość współrzędnej przyspieszenia na tym etapie wynosi:

$a_{3} = 1 \frac{m}{s ^{2}}$

Współrzędna prędkości końcowej dla czwartego etapu będzie wynosiła:

$v_{4} = v_{3} + a_{4} Δ t_{4}$

Obliczamy wartość tej współrzędnej:

$v_{4} = 12 \frac{m}{s} + 1 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 3 s = 12 \frac{m}{s} + 3 \frac{m}{s} = 15 \frac{m}{s}$

▶ Etap 5: od 15 do 21 sekundy.

Początkowy i końcowy czas dla tego etapu wynosi:

$t_{4} = 15 s$

$t_{5} = 21 s$

Oznacza to, że zmiana czasu wynosi wówczas:

$Δ t_{5} = t_{5} - t_{4}$

$Δ t_{5} = 21 s - 15 s = 6 s$

Z wykresu wynika, że wartość współrzędnej przyspieszenia na tym etapie wynosi:

$a_{5} = 0 \frac{m}{s ^{2}}$

Współrzędna prędkości końcowej dla piątego etapu będzie wynosiła:

$v_{5} = v_{4} + a_{5} Δ t_{5}$

Obliczamy wartość tej współrzędnej:

$v_{5} = 15 \frac{m}{s} + 0 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 6 s = 15 \frac{m}{s} + 0 \frac{m}{s} = 15 \frac{m}{s}$

▶ Etap 6: od 21 do 24 sekundy.

Początkowy i końcowy czas dla tego etapu wynosi:

$t_{5} = 21 s$

$t_{6} = 24 s$

Oznacza to, że zmiana czasu wynosi wówczas:

$Δ t_{6} = t_{6} - t_{5}$

$Δ t_{6} = 24 s - 21 s = 3 s$

Z wykresu wynika, że wartość współrzędnej przyspieszenia na tym etapie wynosi:

$a_{6} = 1 \frac{m}{s ^{2}}$

Współrzędna prędkości końcowej dla szóstego etapu będzie wynosiła:

$v_{6} = v_{5} + a_{6} Δ t_{6}$

Obliczamy wartość tej współrzędnej:

$v_{6} = 15 \frac{m}{s} + 1 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 3 s = 15 \frac{m}{s} + 3 \frac{m}{s} = 18 \frac{m}{s}$

Wykonajmy wykres zależności współrzędnej prędkości od czasu. Mamy do czynienia z ruchem jednostajnym lub jednostajnie przyspieszonym. Wówczas prędkości na wykresie będą reprezentowane przez odcinki. Zróbmy zestawienie otrzymanych danych w tabeli dla poszczególnych chwil:

Czas $t [s]$	$t_{0}$	$t_{1}$	$t_{2}$	$t_{3}$	$t_{4}$	$t_{5}$	$t_{6}$
Czas $t [s]$	0	3	9	12	15	21	24
Współrzędna prędkości $v [\frac{m}{s}]$	$v_{0}$	$v_{1}$	$v_{2}$	$v_{3}$	$v_{4}$	$v_{5}$	$v_{6}$
Współrzędna prędkości $v [\frac{m}{s}]$	0	0	6	12	15	15	18

Wówczas wykres zależności współrzędnej prędkości od czasu będzie miał postać:

$b)$

Szukane:

$s_{12 \to 15} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie drogi przebytej przez ciało od końca dwunastej sekundy do końca piętnastej sekundy.

Wiemy, że drogę przebytą przez ciało można obliczyć korzystając z faktu, że jest ona polem pod/nad wykresem funkcji prędkości od czasu. Ograniczeniem jest zawsze oś x. Jeśli mamy pole nad wykresem wówczas ciało cofa się, jeśli mamy do czynienia z polem pod wykresem wówczas ciało porusza się do przodu.

Wykonujemy rysunek pomocniczy dla naszego przypadku:

Zauważmy, że pole pod wykresem zależności współrzędnej prędkości od czasu udało nam się podzielić na pięć obszarów. Jeden z nich to trójkąt prostokątny, jeden to prostokąt, a trzy to trapezy.

Nas interesuje trzeci obszar, który zaczyna się w 12 sekundzie ruchu, a kończy w 15 sekundzie ruchu. Zauważmy, że jest on trapezem o podstawach $12 \frac{m}{s}$ i $15 \frac{m}{s}$ , którego wysokość wynosi $15 s - 12 s = 3 s$ . Oznacza to, że droga przebyta przez ciało od końca 12 s do końca 15 s wynosi:

$s_{12 \to 15} = P_{3}$

$s_{12 \to 15} = \frac{( 12 \frac{m}{s} + 15 \frac{m}{s} ) \cdot 3 s}{2} =$

$= \frac{27 \frac{m}{s} \cdot 3 s}{2} = \frac{81 m}{2} = 40, 5 m$

Odpowiedź: Droga przebyta przez ciało od końca dwunastej sekundy do końca piętnastej sekundy wynosi 40,5 m.

$c)$

Szukane:

$s = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie drogi przebytej przez ciało w szóstej sekundzie, czyli od końca piątek do końca szóstej sekundy. Rozważmy wycinek powyższego wykresu:

Możemy zatem zauważyć, że mamy do czynienia z trapezem o postawach $2 \frac{m}{s}$ i $3 \frac{m}{s}$ , którego wysokość będzie wynosiła $6 s - 5 s = 1 s$ . Wówczas pole tego trapezu, a tym samym droga przebyta przez ciało w szóstej sekundzie ruchu będzie wynosiła:

$s_{6} = \frac{( 2 \frac{m}{s} + 3 \frac{m}{s} ) \cdot 1 s}{2} = \frac{5 \frac{m}{s} \cdot 1 s}{2} = 2, 5 m$

Odpowiedź: Droga przebyta przez ciało w szóstej sekundzie ruchu będzie wynosiła 2,5 m.

$d)$

Szukane:

$v_{\overset{s}{ˊ} r} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie szybkości średniej ciała w przedziale czasu od 3 do 24 sekundy.

Średnia szybkość ruchu jest stosunkiem całkowitej drogi przebytej przez ciało do całkowitego czasu ruchu:

$v_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{Δ s}{Δ t}$

gdzie:

$Δ s$ - całkowita droga jaką pokonało ciało,

$Δ t$ - całkowity czas ruchu ciała.

Do wyznaczenia całkowitej drogi skorzystamy z wykresu wykonanego w podpunkcie b):

▶ Pierwszy obszar to trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne wynoszą $6 \frac{m}{s}$ oraz $9 s - 3 s = 6 s$ . Wówczas pole powierzchni tej figury odpowiadające drodze przebytej wówczas przez ciało będzie wynosiło:

$P_{1} = \frac{1}{2} \cdot 6 \frac{m}{s} \cdot 6 s = 18 m$

▶ Drugi obszar to trapez, którego podstawy wynoszą $6 \frac{m}{s}$ i $12 \frac{m}{s}$ , a wysokość tego trapezu to $12 s - 9 s = 3 s$ . Otrzymujemy wówczas, że pole tego trapezu (odpowiadające drodze) będzie wynosiło:

$P_{2} = \frac{1}{2} \cdot (6 \frac{m}{s} + 12 \frac{m}{s}) \cdot 3 s = \frac{1}{2} \cdot 18 \frac{m}{s} \cdot 3 s = 27 m$

▶ Pole trzeciego obszaru wyznaczyliśmy w podpunkcie b):

$P_{3} = 40, 5 m$

▶ Czwarty obszar jest prostokątem o bokach $15 \frac{m}{s}$ i $21 s - 15 s = 6 s$ . Zatem pole tego obszaru wynosi:

$P_{4} = 15 \frac{m}{s} \cdot 6 s = 90 m$

▶ Piąty obszar to również trapez. Jego podstawy wynoszą $15 \frac{m}{s}$ i $18 \frac{m}{s}$ , a wysokość to $24 s - 21 s = 3 s$ . Wówczas pole piątego obszaru będzie wynosiło: