Dane:

$v_0=99\frac{\text{km}}{\text{h}}=\stackrel{11}{\sout{99}}\cdot \frac{1000\text{m}}{\underset{400}{\sout{3600}}\text{s}}=27,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$v=72\frac{\text{km}}{\text{h}}=\stackrel{1}{\sout{72}}\cdot \frac{1000\text{m}}{\underset{50}{\sout{3600}}\text{s}}=20\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$a=5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

 

$a)$  

Czas hamowania samochodu obliczymy korzystając z wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym. Prędkość ciała w ruchu jednostajnie opóźnionym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$v\left(t\right)=v_0-at$  

gdzie $v_0$  jest prędkością początkową ciała poruszającego się z opóźnieniem $a$  w czasie $t$ . Zatem czas hamowania samochodu ma postać:

$v=v_0-at\mid +at-v$  

$at=v_0-v\mid :a$  

$t=\frac{v_0-v}{a}$  

Drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$  

gdzie $v_0$  jest prędkością początkową z jaką poruszało się to ciało z opóźnieniem $a$  w czasie $t$ . Zatem odległość przeszkody od samochodu będzie równa drodze hamowania i możemy ją przedstawić wzorem:

$d=s$  

$d=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

$d=v_0\frac{v_0-v}{a}-\frac{1}{2}a{\left(\frac{v_0-v}{a}\right)}^2$

$d=\frac{v_0^2-v_{0}v}{a}-\frac{1}{2}a\frac{{\left(v_0-v\right)}^2}{a^2}$

$d=\frac{2v_0^2-2v_{0}v}{2a}-\frac{v_0^2+v^2-2v_{0}v}{2a}$

$d=\frac{2v_0^2-2v_{0}v-\left(v_0^2+v^2-2v_{0}v\right)}{2a}$

$d=\frac{2v_0^2-\cancel{2v_{0}v}-v_0^2-v^2+\cancel{2v_{0}v}}{2a}$

$d=\frac{v_0^2-v^2}{2a}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d=\frac{{\left(27,5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2-{\left(20\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{756,25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-400\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{356,25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=35,625\text{m}\approx 35,6\text{m}$  

 

$b)$  

Gdyby nie było przeszkody to samochód zatrzymałby się, czyli jego końcowa prędkość miałaby zerową wartość:

$v=0$  

Wówczas czas ruchu tego samochodu miałby postać:

$t=\frac{v_0-0}{a}$  

$t=\frac{v_0}{a}$  

Wówczas droga hamowania wynosiłaby:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

$s=v_0\frac{v_0}{a}-\frac{1}{2}a{\left(\frac{v_0}{a}\right)}^2$

$s=\frac{v_0^2}{a}-\frac{1}{2}a\frac{v_0^2}{a^2}$

$s=\frac{2v_0^2}{2a}-\frac{v_0^2}{2a}$

$s=\frac{v_0^2}{2a}$

Podstawiamy dane liczbowe do otrzymanych wzorów:

$t=\frac{27,5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=5,5\text{s}$  

$s=\frac{{\left(27,5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}{2\cdot 5\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=\frac{756,25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=75,625\text{m}\approx 75,6\text{m}$