Dane:

$v=45\frac{\text{km}}{\text{h}}$

$s_l=35\text{m}$

$s_z=18\text{m}$

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$\frac{a_l}{a_z}=?$

$\frac{t_l}{t_z}=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyrażenie ilorazów wartości przyspieszeń i czasów za pomocą ilorazu długości dróg hamowania. 

▶ Iloraz wartości przyspieszenia 

Samochód hamując porusza się ruchem opóźnionym, a do tego na końcu ruchu się zatrzymuje. 

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA Korzystając z definicji przyspieszenia, wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ gdzie: $a$ - wartość przyspieszenia, $\Delta v$ - zmiana szybkości ciała, $\Delta t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Zgodnie z definicją przyspieszenia otrzymamy, że skoro samochód się zatrzymał to zmiana jego szybkości będzie odpowiadała wartości prędkości początkowej samochodu:

$\Delta v=v$

gdzie: 

$v$ - wartość szybkości początkowej samochodu.

Zakładając, że samochód zaczyna hamować w czasie początkowym równym zero możemy zapisać, że:

$\Delta t=t$

gdzie:

$t$ - czas hamowania samochodu.

Samochód ma w obu przypadkach taką samą szybkość początkową, ale różne drogi hamowania. Oznacza to, że czas, w jakim samochód hamuje na oponach letnich będzie różny od czasu, w jakim samochód hamuje na oponach zimowych:

$t_l\ne t_z$

gdzie:

$t_l$ - czas hamowania samochodu na oponach letnich, 

$t_z$ - czas hamowania samochodu na oponach zimowych.

DROGA W RUCHU JEDNOSTAJNIE OPÓŹNIONYM Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie opóźnionym, przedstawiamy za pomocą wzoru: $s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$ gdzie: $s$ - droga pokonana przez ciało, $v_0$ - wartość prędkości początkowej ciała,  $a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało (opóźnienie),  $t$ - czas ruchu ciała.

Znając wzór na przyspieszenie oraz drogę w ruchu opóźnionym wyznaczmy zależność przyspieszenia od drogi. Z definicji przyspieszenia możemy wyznaczyć czas:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

$a=\frac{v}{t}|\cdot t$

$at=v|:a$

$t=\frac{v}{a}$

Zatem ze wzoru na drogę otrzymamy:

$s=vt-\frac{1}{2}a{t}^2$

$s=v\cdot \frac{v}{a}-\frac{1}{2}a\cdot {\left(\frac{v}{a}\right)}^2$

$s=\frac{v^2}{a}-\frac{1}{2}\cancel{a}\cdot \frac{v^2}{a^{\cancel{2}}}$

$s=\frac{v^2}{a}-\frac{1}{2}\cdot \frac{v^2}{a}$

$s=\frac{2v^2}{2a}-\frac{v^2}{2a}$

$s=\frac{v^2}{2a}|\cdot a$

$as=\frac{v^2}{2}|:s$

$a=\frac{v^2}{2s}$

Dla opon letnich otrzymamy:

$a_l=\frac{v^2}{2s_l}$

gdzie:

$a_l$ - wartość przyspieszenia samochodu dla opon letnich, 

$s_l$ - droga hamowania samochodu na oponach letnich. 

Dla opon zimowych:

$a_z=\frac{v^2}{2s_z}$

gdzie:

$a_z$ - wartość przyspieszenia samochodu dla opon zimowych, 

$s_z$ - droga hamowania samochodu na oponach zimowych. 

Zatem iloraz tych przyspieszeń to:

$\frac{a_l}{a_z}=\frac{\frac{v^2}{2s_l}}{\frac{v^2}{2s_z}}$

$\frac{a_l}{a_z}=\frac{\cancel{v^2}}{\cancel{2}{s}_l}\cdot \frac{\cancel{2}{s}_z}{\cancel{v^2}}$

$\frac{a_l}{a_z}=\frac{s_z}{s_l}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\frac{a_l}{a_z}=\frac{18\cancel{\text{m}}}{35\cancel{\text{m}}}\approx 0,5142857\approx 0,51$

▶ Iloraz wartości czasów hamowania

Korzystając ze wzoru na drogę i definicji przyspieszenia otrzymamy:

$s=vt-\frac{1}{2}a{t}^2$

$s=vt-\frac{1}{2}\cdot \frac{\Delta v}{\cancel{t}}\cdot t^{\cancel{2}}$

$s=vt-\frac{1}{2}\Delta vt$

$s=vt-\frac{1}{2}vt$

$s=\frac{1}{2}vt|\cdot 2$

$2s=vt|:v$

$\frac{2s}{v}=t$

$t=\frac{2s}{v}$

Wówczas dla czasów otrzymamy:

$t_l=\frac{2s_l}{v}$

$t_z=\frac{2s_z}{v}$

Zatem iloraz czasów ruchu hamowania samochodu ma postać:

$\frac{t_l}{t_z}=\frac{\frac{2s_l}{v}}{\frac{2s_z}{v}}$

$\frac{t_l}{t_z}=\frac{\cancel{2}{s}_l}{\cancel{v}}\cdot \frac{\cancel{v}}{\cancel{2}{s}_z}$

$\frac{t_l}{t_z}=\frac{s_l}{s_z}$

Obliczamy:

$\frac{t_l}{t_z}=\frac{35\text{m}}{18\text{m}}\approx 1,94444\approx 1,9$  

 

$\mathbf{b})$

Dane w podpunkcie:

$v_0=90\frac{\text{km}}{\text{h}}$ 

Szukane:

$\Delta s=?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest obliczenie, ile razy dłuższa będzie droga hamowania samochodu na oponach letnich od drogi hamowania na oponach zimowych, gdy zmieni się szybkość początkowa.

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że wartości przyspieszeń samochodu hamującego na oponach letnich i zimowych możemy przedstawić wzorem:

$a_l=\frac{v^2}{2s_l}$

$a_z=\frac{v^2}{2s_z}$

Zauważmy, że powyższe wartości przyspieszeń zależą od szybkości początkowej z początku zadania. Wartość przyspieszenia samochodu nie zmieni się, nawet gdy zmieni się wartość prędkości początkowej, ponieważ będzie ona zależała od siły tarcia opon o jezdnię - co wynika z II zasady dynamiki Newtona. 

Zatem, aby obliczyć różnicę dróg hamowania będziemy potrzebowali znać wartość drogi hamowania samochodu zarówno na oponach letnich, jak i zimowych:

$\Delta s=s_{l.1}-s_{l.2}$

gdzie:

$s_{l.1}$ - droga hamowania samochodu na oponach letnich, po zmianie szybkości początkowej,

$s_{z.2}$ - droga hamowania samochodu na oponach zimowych, po zmianie szybkości początkowej.

Wiemy już również, że czas hamowania z definicji przyspieszenia możemy przedstawić wzorem:

$t=\frac{v_0}{a}$

gdzie:

$v_0$ - szybkość początkowa (podana w tej części zadania).

W ogólnym przypadku drogę hamowania samochodu, która będzie zależała od szybkości początkowej ciała i przyspieszenia w ruchu opóźnionym przedstawimy wzorem:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

$s=v_0\cdot \frac{v_0}{a}-\frac{1}{2}a\cdot {\left(\frac{v_0}{a}\right)}^2$

$s=\frac{v_0^2}{a}-\frac{1}{2}\cancel{a}\cdot \frac{v_0^2}{a^{\cancel{2}}}$

$s=\frac{2v_0^2}{2a}-\frac{v_0^2}{2a}$

$s=\frac{v_0^2}{2a}$

Wówczas droga hamowania samochodu na oponach letnich ma teraz postać:

$s_{l.1}=\frac{v_0^2}{2a_l}$

Natomiast droga hamowania samochodu na oponach zimowych ma postać:

$s_{z.1}=\frac{v_0^2}{2a_z}$

Oznacza to, że:

$\Delta s=s_{l.1}-s_{z.1}$

$\Delta s=\frac{v_0^2}{2a_l}-\frac{v_0^2}{2a_z}$

$\Delta s=\frac{v_0^2}{\cancel{2}\cdot \frac{v^2}{\cancel{2}{s}_l}}-\frac{v_0^2}{\cancel{2}\cdot \frac{v^2}{\cancel{2}{s}_z}}$

$\Delta s=\frac{v_0^2}{\frac{v^2}{s_l}}-\frac{v_0^2}{\frac{v^2}{s_z}}$

$\Delta s=\frac{v_0^2}{v^2}{s}_l-\frac{v_0^2}{v^2}{s}_z$

$\Delta s=\frac{v_0^2}{v^2}\left(s_l-s_z\right)$

$\Delta s={\left(\frac{v_0}{v}\right)}^2\left(s_l-s_z\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$s={\left(\frac{90\cancel{\frac{\text{km}}{\text{h}}}}{45\cancel{\frac{\text{km}}{\text{h}}}}\right)}^2\cdot \left(35\text{m}-18\text{m}\right)=$

$=2^2\cdot 17\text{m}=4\cdot 17\text{m}=68\text{m}$

Odpowiedź: Różnica w drogach hamowania wynosi $68\text{m}$.

 

$\mathbf{c})$  

Naszym zadaniem jest podanie związku pomiędzy drogą hamowania i czasem hamowania samochodu dla szybkości początkowej równej:

$v_0=90\frac{\text{km}}{\text{h}}$

Korzystając z podpunktu a) wiemy, że w ogólnym przypadku wartość przyspieszenia samochodu, zgodnie z definicją przyspieszenia, możemy przedstawić wzorem:

$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$

Wartość przyspieszenia się nie zmienia, niezależnie od tego, z jaką szybkością początkową poruszał się samochód, natomiast możemy również założyć, że zaczyna on hamować w zerowym czasie początkowym. Skoro samochód zatrzymuje się na końcu ruchu to zmiana jego szybkości odpowiada szybkości początkowej. Stąd:

$a=\frac{v_0}{t}$

Korzystając ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym otrzymamy, że zależność drogi od czasu, gdy znamy jedynie szybkość początkową, będzie miała postać:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}\cdot \frac{v_0}{\cancel{t}}\cdot t^{\cancel{2}}$

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}{v}_{0}t$

$s=\frac{1}{2}{v}_{0}t$

Nas interesuje związek między drogą hamowania, a czasem, czyli funkcja. Zauważmy, że droga jest wprost proporcjonalna do czasu, a to oznacza, że współczynnikiem proporcjonalności jest $\frac{1}{2}{v}_0$. Wyznaczmy ten współczynnik proporcjonalności i przedstawmy go za pomocą podstawowych jednostek SI.

Rozwiązując to zadania skorzystamy również z:

▶ zależności pomiędzy jednostkami długości: $1\text{km}=1000\text{m}$, 

▶ zależności pomiędzy jednostkami czasu: $1\text{h}=3600\text{s}$.

Stąd:

$\frac{1}{2}{v}_0=\frac{1}{2}\cdot 90\frac{\text{km}}{\text{h}}=45\frac{\text{km}}{\text{h}}=$

$=45\cdot \frac{10\cancel{00}\text{m}}{36\cancel{00}\text{s}}=\frac{450\text{m}}{36\text{s}}=$

$=\frac{25}{2}\frac{\text{m}}{\text{s}}=12,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Stąd wynika, że związek między drogą, a czasem (przy pominięciu podstawowych jednostek SI) ma postać:

$s=12,5t$

 

$\mathbf{d})$  

Naszym zadaniem jest przedstawienie w jednym układzie współrzędnych zależności szybkości od czasu hamowania samochodu dla $v_0=90\frac{\text{km}}{\text{h}}$. 

Wiemy, że jest to ruch jednostajnie opóźniony, czyli czas początkowy jest zerowy $t_0=0$, a końcowe czasy będą się różnić od tego, czy samochód jedzie na oponach letnich, czy zimowych. Ponadto funkcja zależności szybkości samochodu od czasy jest funkcją liniową. 

Z podpunktu a) wiemy, że wartości przyspieszeń samochodu, w zależności od początkowo podanych dróg hamowania ma postać:

$a_l=\frac{v^2}{2s_l}$ oraz $a_z=\frac{v^2}{2s_z}$

Z ogólnej definicji przyspieszenia, przy założeniu że samochód na końcu ruchu ma zerową szybkość, możemy zapisać, że czas hamowania wynosi:

$a=\frac{v_0}{t}|\cdot t$

$at=v_0|:a$

$t=\frac{v_0}{a}$

Stąd czas hamowania samochodu na oponach letnich wynosi:

$t_l=\frac{v_0}{a_l}$

$t_l=\frac{v_0}{\frac{v^2}{2s_l}}$

$t_l=\frac{2v_0{s}_l}{v^2}$

Natomiast na oponach zimowych analogicznie ma postać:

$t_z=\frac{2v_0{s}_z}{v^2}$

Rozwiązując to zadania skorzystamy również z:

▶ zależności pomiędzy jednostkami długości: $1\text{km}=1000\text{m}$, 

▶ zależności pomiędzy jednostkami czasu: $1\text{h}=3600\text{s}$.

Stąd:

$v_0=90\frac{\text{km}}{\text{h}}=90\cdot \frac{10\cancel{00}\text{m}}{36\cancel{00}\text{s}}=$

$=\frac{900\text{m}}{36\text{s}}=25\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$v=45\frac{\text{km}}{\text{h}}=45\cdot \frac{10\cancel{00}\text{m}}{36\cancel{00}\text{s}}=$

$=\frac{450\text{m}}{36\text{s}}=12,5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Obliczmy te czasy hamowania:

$t_l=\frac{2\cdot 25\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 35\text{m}}{{\left(12,5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=\frac{1750\cancel{\frac{\text{m}}{\text{s}}}\cdot \text{m}}{156,25{\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^{\cancel{2}}}=$

$=\frac{1750\cancel{\text{m}}}{156,25\frac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}}}=11,2\text{s}$

$t_z=\frac{2\cdot 25\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 18\text{m}}{{\left(12,5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=\frac{900\cancel{\frac{\text{m}}{\text{s}}}\cdot \text{m}}{156,25{\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^{\cancel{2}}}=$

$=\frac{900\cancel{\text{m}}}{156,25\frac{\cancel{\text{m}}}{\text{s}}}=5,76\text{s}$

 

Wykonujemy wykresy zależności prędkości od czasu w jednym układzie współrzędnych: