Dane:

$h_o=25,2\mathrm{cm}=0,252\mathrm{m}$  

$r_o=r$

$r_g=\frac{1}{2}r$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ gęstość oliwy odczytana z tablic: $d_o=800\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$, 

▶ gęstość gliceryny odczytana z tablic: $d_g=1260\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}$. 

 

$\mathbf{a})$  

Szukane:

$h_g=?$

Rozwiązanie:

Mamy dwa różne cylindry o różnych promieniach podstawy. Pytamy, jaka musi być wysokość słupa gliceryny, aby ciśnienie w cylindrze z gliceryną było takie samo, jak ciśnienie w cylindrze z oliwą:

$p_g=p_o$

gdzie:

$p_g$ - ciśnienie przy dnie naczynia z gliceryną, 

$p_o$ - ciśnienie przy dnie naczynia z oliwą. 

Ciśnienie hydrostatyczne przedstawiamy wzorem:

$p=dgh$ 

gdzie:

$p$ - ciśnienie, 

$d$ - gęstość cieczy wywierającej parcie na dno naczynia,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$ - wysokość słupa cieczy, która wywiera ciśnienie hydrostatyczne na rozważanej głębokości.

Ciśnienie hydrostatyczne gliceryny przedstawimy wzorem:

$p_g=d_{g}g{h}_g$

gdzie:

$d_g$ - gęstość gliceryny,

$h_g$ - wysokość słupa gliceryny. 

Ciśnienie oliwy możemy przedstawić wzorem:

$p_o=d_{o}g{h}_o$

gdzie:

$d_o$ - gęstość oliwy, 

$h_o$ - wysokość słupa oliwy. 

Oznacza to, że wysokość słupa gliceryny możemy przedstawić wzorem:

$d_g\cancel{g}{h}_g=d_o\cancel{g}{h}_o|:d_g$

$h_g=\frac{d_o}{d_g}\cdot h_o$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$h_g=\frac{800\cancel{\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}}}{1260\cancel{\frac{\mathrm{kg}}{{\mathrm{m}}^3}}}\cdot 0,252\mathrm{m}=\frac{80}{126}\cdot 0,252\mathrm{m}=$

$=\frac{80}{\underset{500}{\cancel{126}}}\cdot \stackrel{1}{\cancel{0,252}}\mathrm{m}=\frac{80}{500}\mathrm{m}=$

$=0,16\mathrm{m}=16\mathrm{cm}$

Odpowiedź: Wysokość słupa gliceryny wynosi 16 cm. 

 

$\mathbf{b})$  

Szukane:

Związek pomiędzy wartościami sił parcia na dnie naczynia.

Rozwiązanie:

Wartość siły parcia przedstawiamy zależnością:

$F_p=pS$ 

gdzie:

$F_p$ - wartość siły parcia działającej na pewną powierzchnię,

$p$ - ciśnienie wywierane na tą powierzchnię, 

$S$ - pole tej powierzchni. 

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że ciśnienia wywierane przez poszczególne ciecze na dna naczyń mają postać:

$p_o=d_{o}g{h}_o$ 

 $p_g=d_{g}g{h}_g$

Cylinder, w którym znajduje się oliwa ma pole powierzchni równe:

$S_o=\pi r_o^2$

gdzie:

$S_o$ - pole powierzchni podstawy cylindra, w którym znajduje się oliwa,

$\pi$ - liczba π,

$r_o$ - promień powierzchni podstawy cylindra, w którym znajduje się oliwa. 

 Korzystając z informacji podanych w zadaniu możemy pole powierzchni tego cylindra przedstawić wzorem:

$S_o=\pi r^2$

Podobnie wyznaczamy pole powierzchni cylindra, w którym znajduje się gliceryna:

$S_g=\pi r_g^2$

gdzie:

$S_g$ - pole powierzchni podstawy cylindra, w którym znajduje się gliceryna,

$r_g$ - promień powierzchni podstawy cylindra, w którym znajduje się gliceryna. 

Korzystając z informacji podanych w zadaniu możemy pole powierzchni tego cylindra przedstawić wzorem:

$S_g=\pi r_g^2$

$S_g=\pi {\left(\frac{1}{2}r\right)}^2$

$S_g=\frac{1}{4}\pi r^2$

Dla oliwy wartość siły parcia na dno naczynia będzie wynosiła:

${F_{p.o}=p_{o}S}_o$

$F_{p.o}=d_{o}g{h}_o\cdot \pi r^2$

$F_{p.o}=\pi d_{o}g{h}_o{r}^2$ 

Dla gliceryny wartość siły parcia na dno naczynia będzie wynosiła:

$F_{p.g}=p_g{S}_g$

$F_{p.g}=d_{g}g{h}_g\cdot \frac{1}{4}\pi r^2$  

$F_{p.g}=\frac{1}{4}\pi d_{g}g{h}_g{r}^2$

Wyznaczmy stosunek wartości sił parcia działających na dno naczynia, aby określić związek pomiędzy nimi:

$\frac{F_{p.g}}{F_{p.o}}=\frac{\frac{1}{4}\cancel{\pi }{d}_g\cancel{g}{h}_g\cancel{r^2}}{\cancel{\pi }{d}_o\cancel{g}{h}_o\cancel{r^2}}$

$\frac{F_{p.g}}{F_{p.o}}=\frac{\frac{1}{4}{d}_g{h}_g}{d_o{h}_o}$

$\frac{F_{p.g}}{F_{p.o}}=\frac{\frac{1}{4}\cancel{d_g}\cdot \frac{d_o}{\cancel{d_g}}\cdot h_o}{d_o{h}_o}$

$\frac{F_{p.g}}{F_{p.o}}=\frac{\cancel{d_o{h}_o}}{4\cancel{d_o{h}_o}}$

$\frac{F_{p.g}}{F_{p.o}}=\frac{1}{4}$

$\frac{F_{p.g}}{F_{p.o}}=0,25$

Odpowiedź: Siła parcia na dno cylindra wywierana przez glicerynę jest 0,25 razy mniejsza od wartości siły parcia wywieranej na dno naczynia przez oliwę.