Dane:

$m=8\text{g}=0,008\text{kg}$  

$v_0=300\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$v=120\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$F_{op}=1500\text{N}$  

 

$a)$  

Znamy wartość siły oporu, czyli opóźnienie z jakim będzie poruszał się pocisk w belce obliczymy korzystając ze II zasady dynamiki Newtona:

$ma=F_{op}\mid :m$  

$a=\frac{F_{op}}{m}$  

Znamy wartości prędkości początkowej i końcowej pocisku oraz wiemy, że pocisk porusza się ruchem opóźnionym. Zatem czas ruchu pocisku w belce wyznaczymy z zależności szybkości od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym:

$v=v_0-at\mid +at$  

$v+at=v_0\mid -v$  

$at=v_0-v\mid :a$  

$t=\frac{v_0-v}{a}$  

Zatem droga, jaką w belce przebył pocisk ma postać:

$s=v_{0}t-\frac{1}{2}a{t}^2$  

$s=v_0\cdot \frac{v_0-v}{a}-\frac{1}{2}a{\left(\frac{v_0-v}{a}\right)}^2$  

$s=\frac{v_0\left(v_0-v\right)}{a}-\frac{1}{2}a\frac{{\left(v_0-v\right)}^2}{a^2}$  

$s=\frac{v_0^2-v{v}_0}{a}-\frac{{\left(v_0-v\right)}^2}{2a}$  

$s=\frac{2v_0^2-2v{v}_0}{2a}-\frac{v_0^2+v^2-2v_{0}v}{2a}$  

$s=\frac{2v_0^2-2v{v}_0-v_0^2-v^2+2v_{0}v}{2a}$  

$s=\frac{v_0^2-v^2}{2a}$  

Siła oporu wykonuje pracę przeciwnie do kierunku ruchu pocisku, czyli:

$W=-F_{op}s$  

$W=-F_{op}\frac{v_0^2-v^2}{2a}$  

$W=-\cancel{F_{op}}\frac{v_0^2-v^2}{2\frac{\cancel{F_{op}}}{m}}$  

$W=-\frac{m\left(v_0^2-v^2\right)}{2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=-\frac{0,008\text{kg}\cdot \left({\left(300\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2-{\left(120\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2\right)}{2}=-0,004\text{kg}\cdot \left(90000\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-14400\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\right)=$  

$=-0,004\text{kg}\cdot 75600\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=-302,4\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\approx -300\text{J}$  

Odpowiedź: Praca wykonana przez siły oporów ruchu wynosi około -300 J.

 

$b)$  

Grubość belki będzie odpowiadała drodze, jaką pocisk pokonał w belce, czyli:

$d=s$  

$d=\frac{v_0^2-v^2}{2a}$  

$d=\frac{v_0^2-v^2}{2\frac{F_{op}}{m}}$  

$d=\frac{m\left(v_0^2-v^2\right)}{2F_{op}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d=\frac{0,008\text{kg}\cdot \left({\left(300\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2-{\left(120\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2\right)}{2\cdot 1500\text{N}}=$  

$=\frac{0,008\text{kg}\cdot \left(90000\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-14400\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\right)}{3000\text{N}}=$  

$=\frac{0,008\text{kg}\cdot 75600\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{3000\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{604,8\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{3000\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}=$  

$=0,2016\text{m}\approx 0,2\text{m}$  

Odpowiedź: Grubość belki wynosiła około 0,2 m.