Dane:

$D=0,5\text{m}$

$h_b=0,9\text{m}$

$d=1,2\frac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}=1200\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$

$h=190\text{cm}=1,9\text{m}$

$l=4,2\text{m}$

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Szukane:

$v=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości prędkości beczki u podstawy równi. Skorzystamy z:

ENERGIA POTENCJALNA PRZY POWIERZCHNI ZIEMI Energię potencjalną ciała w jednorodnym polu grawitacyjnym w pewnej odległości od poziomu przyjętego za początkowy przedstawiamy za pomocą wzoru: $E_p=mgh$  gdzie: $E_p$  - energia potencjalna ciała, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, $h$ - wysokość ciała nad poziomem przyjętym za początkowy.

 

ENERGIA KINETYCZNA Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru: $E_k=\frac{m{v}^2}{2}$ gdzie: $E_k$ - energia kinetyczna ciała,  $m$ - masa ciała,  $v$ - wartość prędkości, z jaką ciało się porusza.

 

ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO Energię kinetyczną bryły w ruchu obrotowym możemy przedstawić za pomocą wzoru: $E_{k.obr}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$  gdzie: $E_{k.obr}$ - energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej,   $I$ - moment bezwładności bryły,  $\omega$ - szybkość kątowa bryły względem przyjętej osi obrotu.

Jeżeli beczka znajduje się na naczepie samochodu, to posiada wówczas energię potencjalną ciężkości. W chwili początkowej się nie rusza, czyli jej energie kinetyczne (w ruchu postępowym i obrotowym) są zerowe. Zatem:

$E_{\text{p.0}}=mgh$

$E_{\text{k.p.0}}=0$

$E_{\text{k.o.0}}=0$

gdzie:

$E_{\text{p.0}}$ - energia potencjalna beczki, gdy znajduje się na naczepie, 

$m$ - masa beczki, 

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego, 

$h$ - wysokość początkowa beczki nad podłożem (wysokość, na której znajduje się naczepa), 

$E_{\text{k.p.0}}$ - początkowa energia kinetyczna beczki w ruchu postępowym, 

$E_{\text{k.o.0}}$ - początkowa energia kinetyczna beczki w ruchu obrotowym. 

U podstawy równi, po stoczeniu się beczki, będzie ona miała zerową energię potencjalną (zerowa wysokość beczki nad podłożem), pewną energię kinetyczną w ruchu postępowym oraz pewną energię kinetyczną w ruchu obrotowym. Otrzymamy wówczas wzory:

$E_{\text{p}}=0$

$E_{\text{k.p}}=\frac{1}{2}m{v}^2$

$E_{\text{k.o}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

gdzie:

$v$ - szybkość liniowa beczki u podstawy równi, 

$I$ - moment bezwładności beczki u podstawy równi, 

$\omega$ - szybkość kątowa beczki u podstawy równi. 

Z treści zadania wiemy, że moment bezwładności beczki jest taki sam jak jednorodnego walca. Oznacza to, że ma postać:

$I=\frac{1}{2}m{r}^2$

gdzie:

$r$ - promień beczki. 

My znamy średnicę beczki, czyli jej promień będzie wynosił:

$r=\frac{1}{2}D$

gdzie:

$D$ - długość średnicy beczki. 

Skorzystamy z:

SZYBKOŚĆ KĄTOWA A LINIOWA Zależność szybkości kątowej od szybkości liniowej przedstawiamy wzorem: $\omega =\frac{v}{r}$ gdzie: $\omega$ - szybkość kątowa,  $v$ - szybkość liniowa,  $r$ - promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Zgodnie z zasadą zachowania energii otrzymujemy równanie:

$E_{\text{p}}+E_{\text{k.p}}+E_{\text{k.o}}=E_{\text{p.0}}+E_{\text{k.p.0}}+E_{\text{k.o.0}}$

Korzystając, z powyższych zależności otrzymamy, że wartość prędkości beczki u podstawy pochylni możemy przedstawić wzorem:

$0+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I\omega =mgh+0+0$

$\frac{1}{2}\cancel{m}{v}^2+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cancel{m}{r}^2\cdot {\left(\frac{v}{r}\right)}^2=\cancel{m}gh$

$\frac{1}{2}{v}^2+\frac{1}{4}\cancel{r^2}\cdot \frac{v^2}{\cancel{r^2}}=gh|\cdot 4$

$2v^2+v^2=4gh$

$3v^2=4gh|:3$

$v^2=\frac{4}{3}gh|\sqrt{}$

$v=\sqrt{\frac{4}{3}gh}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{\frac{4}{3}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1,9\text{m}}=\sqrt{\frac{76}{3}\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx$

$\approx \sqrt{25,333\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}\approx 5\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Odpowiedź: U podstawy pochylni beczka będzie miała prędkość o wartości około $5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.