Dane:

$D=0,5\text{m}$  

$h_b=0,9\text{m}$  

$d=1,2\frac{\text{kg}}{{\text{dm}}^3}=1200\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}$  

$h=190\text{cm}=1,9\text{m}$  

$l=4,2\text{m}$  

Rozwiązując to zadanie, skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$,

▶ wartość przyspieszenia ziemskiego: $g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$.

Szukane:

$T_1=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wartości siły tarcia statycznego. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

gdzie:

$\overrightarrow{F_c}$ - siła ciężkości beczki, 

${\vec{F}}_{\perp }$ - składowa siły ciężkości prostopadła do kierunku ruchu beczki (odpowiada naciskowi beczki na podłoże), 

${\vec{F}}_{\parallel }$ - składowa siły ciężkości równoległa do kierunku ruchu beczki, 

${\vec{F}}_{N.1}$ - siła nacisku podłoża na beczkę (co do wartości równa składowej siły ciężkości prostopadłej do kierunku ruchu beczki),

${\vec{T}}_1$ - siła tarcia działająca na beczkę staczającą się po szynach, 

$\alpha$ - kąt nachylenia szyn do poziomu, 

$h$ - wysokość pochylni, 

$l$ - długość pochylni. 

Korzystając, z II zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy:

$ma=F_{\parallel }-T_1$

gdzie:

$m$ - masa beczki, 

$a$ - wartość przyspieszenia liniowego beczki na równi. 

Znamy gęstość smoły znajdującej się w beczce oraz jej wymiary. Beczka ma kształt walca, czyli jej objętość wynosi:

$V=\pi r^2{h}_b$

gdzie:

$V$ - objętość beczki, 

$\pi$ - liczba pi, 

$r$ - promień beczki, 

$h_b$ - wysokość beczki. 

W treści zadania podaną mamy średnicę beczki, czyli:

$r=\frac{1}{2}D$

gdzie:

$D$ - długość średnicy beczki. 

GĘSTOŚĆ Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że: $d=\frac{m}{V}$ gdzie: $d$ - gęstość ciała,  $m$ - masa ciała,  $V$ - objętość ciała.

Zgodnie z definicją gęstości otrzymamy, że masa beczki wynosi:

$m=dV$

gdzie:

$d$ - gęstość smoły w beczce.

Zapiszmy zależność na masę beczki:

$m=dV$

$m=d\cdot \pi r^2{h}_b$

$m=\pi d{\left(\frac{1}{2}D\right)}^2{h}_b$

$m=\frac{1}{4}\pi d{D}^2{h}_b$

Z zadania 9.3. wiemy, że wartość przyspieszenia liniowego beczki na pochylni ma postać:

$a=\frac{2gh}{3l}$

gdzie:

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Korzystając, z rysunku dołączonego do zadania i własności trójkątów podobnych możemy zapisać stosunki:

$\frac{F_{\parallel }}{F_c}=\frac{h}{l}$

Możemy wyrazić wartość siły ciężkości.

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru: $F_c=mg$  gdzie: $F_c$ - wartość siły ciężkości, $m$ - masa ciała,  $g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Wówczas:

$\frac{F_{\parallel }}{F_c}=\frac{h}{l}|\cdot F_c$

$F_{\parallel }=\frac{F_{c}h}{l}$

$F_{\parallel }=\frac{mgh}{l}$

Z powyższych zależności wynika, że otrzymamy wartość siły tarcia w postaci:

$ma=F_{\parallel }-T_1|+T_1$

$ma+T_1=F_{\parallel }|-ma$

$T_1=F_{\parallel }-ma$

$T_1=\frac{mgh}{l}-m\cdot \frac{2gh}{3l}$

$T_1=\frac{3mgh}{3l}-\frac{2mgh}{3l}$

$T_1=\frac{mgh}{3l}$

$T_1=\frac{\frac{1}{4}\pi d{D}^2{h}_{b}gh}{3l}$

$T_1=\frac{\pi dg{D}^2{h}_{b}h}{12l}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_1=\frac{3,14\cdot 1200\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot {\left(0,5\text{m}\right)}^2\cdot 0,9\text{m}\cdot 1,9\text{m}}{12\cdot 4,2\text{m}}=$

$=\frac{3,14\cdot 1200\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 0,25{\text{m}}^2\cdot 0,9\text{m}\cdot 1,9\cancel{\text{m}}}{50,4\cancel{\text{m}}}=$

$=\frac{16108,2\frac{\text{kg}}{\cancel{{\text{m}}^3}}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \cancel{{\text{m}}^3}}{50,4}\approx 320\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}=320\text{N}$

Odpowiedź: Wartość siły tarcia statycznego wynosi około $320\mathrm{N}$.