Dwie gwiazdy wskutek przyciągania grawitacyjnego...- Zadanie 4.32.: Fizyka 1-3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

Mamy dwie masy, które obiegają wspólny środek masy po okręgu przy czym ich masy spełniają zależność"

$m_{2} = 3 m_{1}$

gdzie:

$m_{1}$ - masa mniejszej gwiazdy,

$m_{2}$ - masa gwiazdy trzykrotnie większej od pierwszej.

Niech środek masy, który obiegają obie gwiazdy ma masę o wartości $M$ . Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy dwoma ciałami przedstawiamy wzorem:

$F_{g} = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}}$

gdzie:

$F_{g}$ - wartość siły grawitacji,

$G$ - stała grawitacji,

$m_{1}$ i $m_{2}$ - masy oddziałujących ze sobą ciał,

$r$ - odległość pomiędzy środkami tych mas.

Zatem dla pierwszej gwiazdy otrzymamy, że wartość oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy nią, a środkiem mas wynosi:

$F_{1} = \frac{G m _{1} M}{r _{1}^{2}}$

Dla drugiej gwiazdy otrzymamy:

$F_{2} = \frac{G m _{2} M}{r _{2}^{2}}$

Zatem skoro obiegają wspólny środek masy to siły grawitacji muszą mieć takie same wartości:

$F_{1} = F_{2}$

Wówczas:

$\frac{G m _{1} M}{r _{1}^{2}} = \frac{G m _{2} M}{r _{2}^{2}}$

$\frac{m _{1}}{r _{1}^{2}} = \frac{m _{2}}{r _{2}^{2}}$

$\frac{m _{1}}{r _{1}^{2}} = \frac{3 m _{1}}{r _{2}^{2}}$

$\frac{1}{r _{1}^{2}} = \frac{3}{r _{2}^{2}}$

Wymnażamy na krzyż:

$r_{2}^{2} = 3 r_{1}^{2}$

$r_{2} = 3 r_{1} ∣ : r_{1}$

$\frac{r _{2}}{r _{1}} = 3$

Wiemy, że $3 \approx 1, 732$ , czyli promień drugiej gwiazdy jest większy niż promień pierwszej gwiazdy.

Wykonajmy rysunek orbit i zachowajmy proporcje:

UWAGA! Należy na powyższym rysunku zaznaczyć położeniu obu gwiazd w trzech dowolnie wybranych chwilach. Promienie orbit się nie zmienią. Nie wiemy nic na temat ich okresów ani położenia początkowego. Oznacza to, że te położenia możemy nanieść w dowolny sposób.